undefinierte und fehlgeformte Terme

31/12/2012 - 12:40 von bernhartdiener | Report spam
Hallo allerseits,
Mit verschiedenen Regeln (Regelmenge) kann man z.B. Terme und Formeln
bilden.
Mich interessiert, wie (durch welche Regeln) man die Bildung
undefinierter Ausdruecke wie z.B. 8/0 vermeiden und dagegen Ausdruecke
wie z.B. (3 + (5/8) ) erlauben kann.

Ich habe mir dazu Folgendes ueberlegt (siehe unten).
Ist das korrekt, wo sind die Denkfehler bzw. was meint ihr dazu ?

mfg
Bh


1) Problembeschreibung an einem Beispiel:
Der syntaktische Term x/0 ist wohlgeformt.
Wenn man aber x mit 3 und 0 mit der mathematischen Null und / als
Division interpretiert, bekommt man den "undefinierten" Ausdruck
3/0
Genauso ist
(3 / (10-2*5) )
"undefiniert"
Im Unterschied zu einem syntaltisch fehlgeformtem Ausdruck wie z.B:
a****b)))
nenne ich meine Ausdruecke bzw. Terme wie z.B.
3 / 5
semantisch wohlgeformt und
3 / (10-2*5) bzw. 7/0
semantisch fehlgeformt.

2)
Wie kann man semantisch wohlgeformt bzw. semantisch fehlgeformte Terme
formalisieren?
2.1) anschauliche Beschreibung des Loesungsversuchs:
Das Problem ist, dass ein Ausdruck wie f(x) nur fuer x aus dem
Definitionsbereich definiert ist.
Wenn man eine Funktion wie f (Teilmenge von A x B) als Relation
auffasst, muß also x in der Projektion in die 1. Menge von A x B
enthalten sein.
Man kann also die Division / als eine Relation d auffassen
Jeder syntaktisch wohlgeformte Term wie z.B.
3/5 oder 5/0 oder 10/(3-3) soll eine Auswertung (Wert) haben.
also konkret:
3/6 = 0,6
5/0 = #
10/(3-3) = #
wobei mit # angedeutet wird, dass die Auswertung keine Zahl mehr ist.
Man kann einen "komplexen" semantischen Term aus einfachen
zusammenbauen, z.B:
Der semantische Term (3+7) hat den Wert 10, der semantische Term (3-3)
den Wert 0
Da (10,0) nicht mehr zur Definitionsmenge von d gehoert, bekommt also

(3+7) / (3-3) den Wert #.


2.1) Versuch einer formale Spezifikation fuer die Auswertung von
Termen:

2.1.1) Bemerkungen:
\e\ ist Abkuerzung fuer Element von
e\ ist Abkuerzung fuer nicht Element von

2.1.2) Definitionen:
Z ist eine Zahlenmenge z.B. die reellen Zahlen
Alphabet G = Z u { ( ; ) ; d ; m ; s ; a ; # }
d intendiert die Division, m die Multiplikation, s die Subtraktion und
a die Multiplikation von 2 Zahlen. Damit sind d, m, s, a Relationen
und Teilmengen von (ZxZ) x Z.
G* = Menge aller endlichen Folgen aus Alphabet G
P1(d) ist die Projektion der Relation d in die 1. Menge (ZxZ) des
kartesischen Produkts (ZxZ) x Z, also:
P1(d) = {(x,y)\e\ZxZ | existiert z mit ((x,y),z)\e\d}
P1(a) = P1(s) = P1(m) = Z x Z

2.1.3) Regeln:
R1 = {({};(x, x) ) | x\e\Z }
R2 = { ({}; (d(x, y),z) ) | ((x,y),z) \e\ d }
R3 = { ({}; (d(x, y),#) ) | x\e\Z und y\e\Z und (x,y) e\ P1(d) }
R4 = { ({(T1,z1) ; (T2,z2) }; (d(T1, T2),z) ) | T1 \e\ G* und T2 \e\
G* und ((z1,z2),z) \e\ d }
R5 = { ({(T1,z1) ; (T2,z2) }; # ) | T1 \e\ G* und T2 \e\ G* und
z1= # oder z2 = # oder (z1,z2) e\ P1(d) }
R6 = { ({}; (m(x, y),z) ) | ((x,y),z) \e\ m }
R7 = { ({(T1,z1) ; (T2,z2) }; (m(T1, T2),z) ) | T1 \e\ G* und
T2 \e\ G* und ((z1,z2),z) \e\ m }
R8 = { ({}; (s(x, y),z) ) | ((x,y),z) \e\ s }
R9 = { ({(T1,z1) ; (T2,z2) }; (s(T1, T2),z) ) | T1 \e\ G* und
T2 \e\ G* und ((z1,z2),z) \e\ s }
R10 = { ({}; (s(x, y),z) ) | ((x,y),z) \e\ a }
R11 = { ({(T1,z1) ; (T2,z2) }; (a(T1, T2),z) ) | T1 \e\ G*
und T2 \e\ G* und ((z1,z2),z) \e\ a }

R = R1 U ... U R11
Dann heisst I(R) die durch R induktiv definierte Menge.

3) Definition
Eine Zeichenfolge T \e\ G* ist semantisch wohlgeformt <==>
es existiert ein z mit (T,z) \e\ I(R) und z != #
 

Lesen sie die antworten

#1 Christopher Creutzig
02/01/2013 - 19:18 | Warnen spam
On 12/31/12 12:40 PM, Bernhart_Diener wrote:

Eine Zeichenfolge T \e\ G* ist semantisch wohlgeformt <==>
es existiert ein z mit (T,z) \e\ I(R) und z != #



Ich habe die Details Deiner Definition nicht genauer angeschaut, aber:
Wenn Du einen einigermaßen großen Teil der konstruktiven rellen Zahlen
darstellen können möchtest, wirst Du vermutlich keine syntaktischen
Regeln aufstellen können, die die Division durch 0 (und andere
Definitionslücken) verhindern können. Gut, einen Beweis kenne ich nur
für Ausdrücke, die noch eine Variable enthalten (Richardson, 1968), aber
soweit ich weiß, hat noch niemand einen entsprechenden Algorithmus für
Konstanten angeben können.

Auch in den USA wird die Todesstrafe nicht gegen Politiker verhàngt, die
irgendwem mißfallende Gesetze beschlossen haben. (Martin Bienwald)

Ähnliche fragen