Unendlich viele Orbits bei linearer Abbildung Z^n->Z^n

15/04/2008 - 13:25 von Jan Fricke | Report spam
Hallo,
ein Kollege fragte mich eben in der Mensa, ob ich Quellen oder die
Lösung auf folgende Frage weiß. Ich reiche sie mal weiter.

Es sei A\in GL(n,Z) (d.h. eine (nxn)-Matrix mit ganzzahligen Eintràgen
und Determinante +-1), und b \in Z^n. Dann ist x|->Ax+b eine Bijektion
Z^n->Z^n. Ist dann für n>1 die Anzahl der Orbits immer unendlich?


Viele Grüße Jan
 

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#1 earthnut
16/04/2008 - 00:51 | Warnen spam
Jan Fricke wrote:

Hallo,
ein Kollege fragte mich eben in der Mensa, ob ich Quellen oder die
Lösung auf folgende Frage weiß. Ich reiche sie mal weiter.

Es sei A\in GL(n,Z) (d.h. eine (nxn)-Matrix mit ganzzahligen Eintràgen
und Determinante +-1), und b \in Z^n. Dann ist x|->Ax+b eine Bijektion
Z^n->Z^n. Ist dann für n>1 die Anzahl der Orbits immer unendlich?


Viele Grüße Jan




Hast du dir schon mal im folgenden Stil gedanken gemacht: ?

Wenn T(x) := Ax + b, dann ist T^n(x) = A^n x + A^(n-1) b + ... + Ab + b,
also T^n(x) = A^n x + "(I-A)^(-1)" (I-A^n) b. (I-A ist i. A nicht
invertierbar, daher geeignet zu interpretieren. Ich schreibe es mal nur
formal so hin und multipliziere es eh gleich wieder weg.)

Ist also y aus dem Orbit von x, existiert ein n, so dass y = T^n x, also
y = A^n x + (I-A)^(-1) (I-A^n) b, oder nach Multiplikation mit I-A von
links und etwas Umformen y-Ay-b = A^n (x-Ax-b), bzw.
(I-T)(y) = A^n (I-T)(x).

Das bedeutet also, dass wenn y im Orbit von x (zu T) liegt, (I-T)(y) im
Orbit von (I-T)(x) (zu A) liegen muss. Hat also A unendlich viele Orbits
in dem Bild von I-T, muss T auch unendlich viele Orbits haben. Oder? Hab
ich wiedermal etwas vertauscht?

A dürfte glaube ich immer unendlich viele Orbits haben, oder? (Irgendwie
ist es ja eine Kombination aus Streckungen, Stauchungen,
Parallelverschiebungen und Verzerrungen.)

Das Bild von I-T ist ein affiner Unterraum von Z^n. Dieser müsste doch,
sofern T nicht die Identitàt ist, bereits unendlich viele Orbits von A
schneiden. Oder?

So. Vermutlich funktioniert das zwar so nicht, aber vielleicht hilft es
dir ja trotzdem weiter.

Grüße, Bastian.

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