Unendlichkeitsaxiom

02/09/2015 - 18:49 von Rudolf Sponsel | Report spam
Ich starte mal mit der Fassung von Halmos (1968) Naive Mengenlehre, S. 60:

"Es gibt eine Menge, die 0 enthàlt und mit jedem ihrer Elemente auch
dessen Nachfolger."
Halmos erlàutert: "Der Name 'Unendlichkeitsaxiom' ist naheliegend:
Wir haben zwar noch keine pràzise Definition der Unendlichkeit
aufgestellt, aber es scheint vernünftig, solche Mengen, wie sie das
Unendlichkeitsaxiom beschreibt, unendlich zu nennen."

Die Formulierung des Axioms ist unklar. Man kann es 1) so verstehen,
dass alle_g Nachfolger gemeint sind. Dann ist es falsch, weil es nicht
alle_g und insbesondere keinen letzten Nachfolger gibt. In dieser
Bedeutung sollte man das Axiom umtaufen in "selbstwidersprüchliches
Unendlichkeitsaxion". 2) man kann es als eine potentielle und
unbestimmte Menge von Vorgàngern und Nachfolgern verstehen, die nach der
Formulierung kein effektives Ende hat, denn sobald ein Element gegeben
ist, ist auch dessen Nachfolger gegeben ... Dann ist die Menge nur
potentiell unendlich und nach oben offen, was aber meist nicht gewünscht
ist. Gewünscht ist so etwas wie eine Einheit für alle_g natürlichen
Zahlen, womit man etwas Unvollendetes und Unvollendbares als vollendet
und vollendbar denkt. Das ist der grundlegende Denkfehler. Es bleibt die
Frage, ob etwa in sich Widerspruchsvolles oder ein grundlegender
Denkfehler als Axiom überhaupt zulàssig ist. Sonst könnte man ja per
Axiom verkünden: es gibt einen viereckigen Kreis. - Na ja, wenn man ihn
geeignet definiert ...
 

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#1 Carlo XYZ
02/09/2015 - 19:42 | Warnen spam
Rudolf Sponsel wrote:
... dass alle_g Nachfolger gemeint sind. Dann ist es falsch, ...



usw, ...

Generell: ein Axiom kann nicht "falsch" sein.

Speziell: weißt du überhaupt, was Halmos mit "0" meint? Und mit
"Nachfolger"? Wenn nein, warum hast du es in diesem Buch nicht
nachgeschlagen? Wenn ja, dann solltest du ja wissen, dass es zu einer
endlichen Menge (und bis dahin waren NUR endliche Mengen bekannt)
immer EINEN EINZIGEN, d.h. einen EINDEUTIGEN Nachfolger gibt.

Und jetzt lies nochmal, was du geschrieben hast.

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