Ungleichung aus der Geometrie

04/08/2009 - 13:13 von Alfred Flaßhaar | Report spam
Beim Stöbern in einer àlteren Veröffentlichung (1942) stieß ich auf eine
Ungleichung mit Beweis. Ich habe wegen eines weiteren Beweises noch nicht in
der einschlàgigen Literatut (Kazarinoff, Hlawka, ...) nachgeschaut und in
dsm habe ich sie auch nicht gefunden. Deshalb suche man einen möglichst
"elementaren" Beweis für folgende Ungleichung:

Gegeben seien eine Gerade g und auf derselben Seite von g die Punkte A, B,
C. Die Punkte A_1, B_1, C_1 seien die entsprechenden Spiegelungen an g.

Zu zeigen ist:

(AC/AC_1 + BC/BC_1)/(1+(AC/AC_1)*(BC/BC_1)) >= AB/A_1B

Viele Grüße, Alfred Flaßhaar
 

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#1 Stephan Gerlach
07/08/2009 - 18:19 | Warnen spam
Alfred Flaßhaar schrieb:

Deshalb suche man einen möglichst
"elementaren" Beweis für folgende Ungleichung:

Gegeben seien eine Gerade g und auf derselben Seite von g die Punkte A, B,
C. Die Punkte A_1, B_1, C_1 seien die entsprechenden Spiegelungen an g.

Zu zeigen ist:

(AC/AC_1 + BC/BC_1)/(1+(AC/AC_1)*(BC/BC_1)) >= AB/A_1B



Das sieht einfach aus, aber ist es irgendwie dann doch nicht?!

Folgende Beobachtung, die bestimmt schon jeder herausbekommen hat:
Falls der Punkt A *auf* der Gerade g liegt, so sind A und A_1 identisch.
Außerdem sind die Strecken AC und AC_1 gleich lang. Damit wird die
Ungleichung aber unmittelbar einsichtig; es besteht sogar Gleichheit (1=1).

Vielleicht kann diese Beobachtung für den Fall, daß A *nicht* auf g
liegt, irgendwie verwenden. Ich dachte an folgendes:
- o.B.d.A. sei g die y-Achse im R²
- B, C und die y-Koordinate von A seien "beliebig, aber fest" gewàhlt
- B_1, C_1 und die y-Koordinate von A_1 sind damit eindeutig bestimmt.
Man betrachte nun die x-Koordinate von A als variabel und betrachtet die
Funktion

f(x) (A(x)C/A(x)C_1 + BC/BC_1)/(1+(A(x)C/A(x)C_1)*(BC/BC_1)) - A(x)B/A(x)_1B,

also in der x-Koordinate von A steckt eine Abhàngigkeit von x. Dann weiß
man, daß diese Funktion für x=0 eine Nullstelle besitzt. Denn x=0 ist
gerade der oben erwàhnte Fall, daß A auf g liegt. Und nun könnte man
vielleicht irgendwie zeigen, daß f in einem geeignetem Bereich monoton
steigend ist. Zusammen mit der Nullstelle bei x=0 wàre dann das Ziel, daraus
f(x) >= 0
zu folgern. Ich weiß aber nicht, ob das funktioniert (hab's auch nicht
ausprobiert, da IMHO nicht "elementar").


Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

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