Unterschied "affin" und "ähnlich"

02/11/2007 - 18:55 von Stefan Offermann | Report spam
Hallo,

ich bin verwirrt. Ich versuche einen Unterschied zwischen "affinen" und
"Ähnlichkeitstransformationen" zu finden und bekomme das Thema nicht zu
fassen.

Hintergrund sind Koordinatentransformationen, konkret die
Helmert-Transformation (7 Parameter).

Ist diese eine affine Transformation, eine Ähnlichkeitstransformation
oder gar beides?

Und wo liegt genau der Unterschied zwischen "affin" und "àhnlich"?

Ich würde mich freuen wenn man das einem (Geo-)Informatikstudenten
verstàndlich erklàren könnte. Die Wikipedia hilft mir nicht sehr viel
weiter, da dort teilweise gegensàtzliche Aussagen und Zirkelbezüge
auftauchen. Gibt es sonst gute Mathematik-Lexika im Netz?

Gruß,
Stefan
 

Lesen sie die antworten

#1 Hendrik van Hees
02/11/2007 - 21:10 | Warnen spam
Stefan Offermann wrote:

Hallo,

ich bin verwirrt. Ich versuche einen Unterschied zwischen "affinen"
und "Ähnlichkeitstransformationen" zu finden und bekomme das Thema
nicht zu fassen.



Ich versuche mal zu antworten, obwohl ich nicht sicher bin, ob ich die
Begriffe richtig in Erinnerung habe.

Sei (A,V) (A Punktmenge, V reeller endlichdim. Vektorraum) ein affiner
Raum. Dann kann man bekanntlich jeden Punkt des Raumes durch
Ortsvektoren bzgl. eines festen Ursprungs O \in A charakterisieren.
Dann sind affine Abbildungen durch

A(x)=M x + a

mit a \in V und M \in Hom(V) definiert. Ist M \in Aut(V), hat man es
offenbar mit einer bijektiven Abbildung zu tun. Dann heißt A Affinitàt.

Der Witz ist, daß affine Abbildungen genau diejenigen Abbildungen sind,
die Geraden auf Geraden und parallele Geraden auf parallele Geraden
abbilden.

Dreiecke und andere Figuren müssen unter der Abbildung offenbar nicht
àhnlich sein.

Um Ähnlichkeitstransformationen definieren zu können, müssen wir ein
bißchen mehr verlangen, nàmlich daß der affine Raum sogar euklidisch
ist, d.h. V ist ein euklidischer Vektorraum mit positiv definiter
Bilinearform (dem "Skalarprodukt"). Eine Ähnlichkeitstransformation
liegt genau dann vor, wenn Winkel zwischen Vektoren erhalten bleiben,
d.h. wenn für alle x,y \in V\{0} gilt

cos \angle(x,y)=cos \angle(A x-a,A y-a).

Nun ist aber definitionsgemàß

cos \angle(x,y):=x.y/(|x| |y|),

d.h. eine affine Abbildung ist eine Ähnlichkeitstrafo genau dann, wenn

x.y/(|x| |y|)=(M x).(M y)/(|M x| |M y|) (*)

für alle x,y \in V.

Bleibt also herauszufinden, welche Eigenschaften M haben muß, damit das
der Fall ist. Offenbar sind Drehungen oder Drehspiegelungen, also M \in
O(V), erlaubt, aber die erhalten sogar noch die Làngen der Vektoren,
lassen also sogar alle Skalarprodukte selbst invariant, nicht nur die
Winkel. Anschaulich ist klar, daß alle "Drehstreckungen"
oder "Drehspiegelstreckungen" genau die erlaubten Matrizen M sind, d.h.
es muß eine von 0 verschiedene reelle Zahl lambda geben, so daß

M=lambda O mit O in O(V).

Es ist klar, daß eine Matrix von dieser Gestalt eine Affinitàt A zu
einer Ähnlichkeitstransformation macht. Schwieriger ist der Beweis des
Umgekehrten Sachverhalts, also daß für jede eine
Ähnlichkeitstransformation erzeugende Abbildung M \in GL(V) M notwendig
von der obigen Gestalt sein muß.

Seien nun n1 und n2 zwei beliebige zueinander orthogonale
Einheitsvektoren. Dann gilt

(n1,n2)=0=(M n1,M n2)/(|M n1| |M n2|) => (M n1,M n2)=0

Allgemeiner: M bildet jede Orthonormalbasis {e_j} auf eine Basis {e_j'}
aus orthogonalen Vektoren ab. Um unsere Aussage zu beweisen, müssen wir
also nur noch nachweisen, daß für zwei beliebige orthogonale
Einheitsvektoren |M n1|=|M n2| ist. Dann ist nàmlich {e_j"=e_j'/lambda}
mit lambda=|M e_1|=|M e_2|...=|M e_d| eine ONB, und also existiert eine
orthogonale Abbildung O, so daß O e_j =e_j"=e_j'/lambda ist, woraus
folgt, daß e_j'=lambda O e_j=M e_j für alle e_j in der ONB ist, also
gilt M=lambda O.

Zum Beweis von |M n1|=|M n2| betrachten wir

|M n1|^2-|M n2|^2=(M (n1-n2),M(n1+n2)) =(n1-n2,n1+n2) |M(n1-n2)| |M(n1+n2)|,

weil ja M eine Ähnlichkeitstrafo induzieren soll. Nun ist aber

(n1-n2,n1+n2)=(n1,n1)-(n2,n2)=0

und also

|M n1|=|M n2|

QED.

ObdA. kann man übrigens verlangen, daß O sogar in SO(V) ist, was wir im
folgenden tun wollen. Falls die Ähnlichkeitstrafo
orientierungserhaltend und also det M>0 ist, muß dann lambda>0 wàhlen.
Falls eine Spiegelung mit im Spiele ist, also det M<0, muß lambda<0
sein.

Weiter ist klar, daß die Affinitàten die volle Symmetriegruppe des
affinen Raumes mit VR V bilden, von denen die Ähnlichkeitstrafos eine
Untergruppe sind. Ähnlichkeitstransformationen, die zusàtzlich noch die
Làngen erhalten, liegen genau dann vor, wenn det M=\pm 1 ist. Auch
diese Transformationen bilden wieder eine Untergruppe, die volle
Symmetriegruppe des euklidischen affinen Raumes ISO(V).

Was eine Helmerttranformation ist, wußte ich bisher nicht. Laut
Wikipedia handelt es sich aber genau um die oben angegebene
Parametrisierung einer Ähnlichkeitsabbildung:

A(x)=lambda O x+a.

Diese besitzt offenbar

1 (für den Streckungsfaktor lambda)
+d(d-1)/2 (für die SO(n)-Matrix O)
+d (für den Verschiebungsvektor a)

Parameter.

Für d=2 hast Du also vier, für d=3 vier Transformationsparameter.

Hintergrund sind Koordinatentransformationen, konkret die
Helmert-Transformation (7 Parameter).

Ist diese eine affine Transformation, eine Ähnlichkeitstransformation
oder gar beides?

Und wo liegt genau der Unterschied zwischen "affin" und "àhnlich"?



Jede Ähnlichkeitstransformation ist auch eine affine Transformation
(sogar eine Affinitàt). Umgekehrt können affine Transformationen aber
auch die Verhàltnisse von geometrischen Figuren "verzerren". Du
brauchst als Beispiel nur die Matrix M=diag(1,2,3,...,d) nehmen :-).

Hendrik van Hees Texas A&M University
Phone: +1 979/845-1411 Cyclotron Institute, MS-3366
Fax: +1 979/845-1899 College Station, TX 77843-3366
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq mailto:

Ähnliche fragen