Unterschied Integrale

01/10/2008 - 00:03 von Juliane | Report spam
Kann mir jemand (möglichst einfach verstàndlich) den Unterschied
zwischen dem Riemann-Integral und dem Riemann-Stieltjes-Integral
verdeutlichen?

Vielen Dank.
 

Lesen sie die antworten

#1 Roland Franzius
01/10/2008 - 11:02 | Warnen spam
Juliane schrieb:
Kann mir jemand (möglichst einfach verstàndlich) den Unterschied
zwischen dem Riemann-Integral und dem Riemann-Stieltjes-Integral
verdeutlichen?


Beim Riemann-Integral für relle Funktionen summiert man die Produkte aus
dem Intervalllàngenmaßen einer Partition des Integrationsgebiets mit
zufàllig gewàhlten Funktionswerten im Innern der jeweiligen Intervalle.

I_{I_k}(f) = sum_k f_k |I_k| , f_k= f(xi_k), xi_k\in I_k

Das Riemann-Integral existiert, wenn die Riemannsummen
I_{I_k}(1), die Approxiamationen des Maßes des Integrationsgebiets
und die der Funktion f
I_{I_k}(f)
einen von der Wahl der Partition und der Wahl der Auswertungspunkte
{xi_k} unabhàngigen Grenzwert bei beliebiger Verfeinerung besitzen.

Das Lebesgue-Integral für monotone stetige Funktionen x->y=f(x) geht aus
der Substitution

f(x) dx -> y Maß( f^(dx)) = dy y |dx/dy|

hervor.

Man unterteilt also für reelle Funktionen den maximalen Wertebereich
(-oo,oo) von f in Intervalle J_k=(y_k,y_k+dy_k) und bildet die
Riemannsummen der Funktionswerte multipliziert mit dem Maß der
Vereinigung aller Urbilder von J_k unter f^-1 auf dem Definitionsgebiet.

Für Riemann-integierbare Funktionen ist das dasselbe, das
Lebesgue-Inegral ist aber für eine größere Klasse definierbar, die zB
auch noch Funktionen umfaßt, die aufgrund von gehàuften Unstetigkeiten
oder ràumlich nicht auflösbaren Oszillationen bei zufàlliger Wahl der
Auswertungspunkte in der Riemannsumme nicht konvergent sind.


Roland Franzius

Ähnliche fragen