V = (p1^2)*V1 + (p2^2)*V2 + (p3^2)*V3 minimieren

06/06/2008 - 23:03 von Benno Hartwig | Report spam
Eine Frage aus der Stochstik, und ich komme nicht auf die Antwort.
:-(

Seien V1, V2 und V3 positive rellele Zahlen (Varianzen)
Gesucht sind nun Werte p1, p2 und p3 derart dass
p1 + p2 + p3 = 1
gilt und
V = (p1^2)*V1 + (p2^2)*V2 + (p3^2)*V3
minimal wird.

Wie müssen dann diese p1,p2 und p3 in Abhàngigkeit von den Vi
aussehen?

(Hintergrund: ich habe 3 Zufallsvariablen mit gleichem
Erwartungswert und verschiedenen bekannten Varianzen,
und ich will daraus eine möglichst gute Schàtzung für
diesen Erwartungswert gewinnen)


Im Falle von nur 2 Varianzen V1 und V2 ergibt sich ja
V(p) = (p^2)*V1 + ((1-p)^2)*V2 = (V1+V2)*p^2 - 2*V2*p +V2
und damit
V'(p) = 2*(V1+V2)*p - 2*V2
Null setzen =>
0 = 2*(V1+V2)*p - 2*V2
=> p = V2/(V1+V2)

Nur wie gehe ich nun bei 3 oder mehreren Zufallsvariablen
und damit Varianzen vor?

Benno
 

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#1 Jan Fricke
06/06/2008 - 23:32 | Warnen spam
Benno Hartwig wrote:
Eine Frage aus der Stochstik, und ich komme nicht auf die Antwort.
:-(

Seien V1, V2 und V3 positive rellele Zahlen (Varianzen)
Gesucht sind nun Werte p1, p2 und p3 derart dass
p1 + p2 + p3 = 1
gilt und
V = (p1^2)*V1 + (p2^2)*V2 + (p3^2)*V3
minimal wird.

Wie müssen dann diese p1,p2 und p3 in Abhàngigkeit von den Vi
aussehen?

(Hintergrund: ich habe 3 Zufallsvariablen mit gleichem
Erwartungswert und verschiedenen bekannten Varianzen,
und ich will daraus eine möglichst gute Schàtzung für
diesen Erwartungswert gewinnen)


Im Falle von nur 2 Varianzen V1 und V2 ergibt sich ja
V(p) = (p^2)*V1 + ((1-p)^2)*V2 = (V1+V2)*p^2 - 2*V2*p +V2
und damit
V'(p) = 2*(V1+V2)*p - 2*V2
Null setzen =>
0 = 2*(V1+V2)*p - 2*V2
=> p = V2/(V1+V2)

Nur wie gehe ich nun bei 3 oder mehreren Zufallsvariablen
und damit Varianzen vor?



Extrema mit Nebenbedingungen kann man mit der Methode der Lagrangeschen
Multiplikatoren bestimmen.
Dazu setzt Du
F(p1,p2,p3,l) = V + l * (Nebenbedingung)
= (p1^2)*V1 + (p2^2)*V2 + (p3^2)*V3 + l*(p1 + p2 + p3 - 1)
Dann setzt Du die 4 partiellen Ableitungen Null:
0 = 2 p1 * V1 + l,
0 = 2 p2 * V2 + l,
0 = 2 p3 * V3 + l und
0 = p1 + p2 + p3 - 1.
Das ergibt
p1 = - l / (2 * V1) usw.
also
1 = - l / (2 * V1) - l / (2 * V2) - l / (2 * V3),
woraus man l erhàlt.


Viele Grüße Jan

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