Variante zum Mittelwertsatz

04/09/2008 - 15:54 von Armin Saam | Report spam
Es sei f: [a,b] --> R eine stetige Funktion und 0 < k < 1.
Dann gibt es im Definitionsbereich ein Intervall [u,v] derart, dass
v-u = k*(b-a) und f(v) - f(u) = k*(f(b) - f(a)).

Der Sachverhalt ist anschaulich unmittelbar klar und seine Verwandtschaft
mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung liegt auf der Hand,
wenngleich hier die Differenzierbarkeit nicht verlangt ist. Aber wie beweist
man ihn (streng)?

Schöne Grüße
Armin Saam
 

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#1 Detlef Müller
04/09/2008 - 19:32 | Warnen spam
Armin Saam wrote:
Es sei f: [a,b] --> R eine stetige Funktion und 0 < k < 1.
Dann gibt es im Definitionsbereich ein Intervall [u,v] derart, dass
v-u = k*(b-a) und f(v) - f(u) = k*(f(b) - f(a)).

Der Sachverhalt ist anschaulich unmittelbar klar und seine Verwandtschaft
mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung liegt auf der Hand,
wenngleich hier die Differenzierbarkeit nicht verlangt ist. Aber wie beweist
man ihn (streng)?



Fall I: f(a)=f(b), also f(b)-f(a)=0

a) f ist konstant: dann wàhle u,v mit a<u<v<b beliebig
und k:=(v-u)/(b-a), damit gilt die Beh.

b) Es gibt ein z mit a < z < b und f(z) != f(a). Dann ist
m := (f(a)+f(z))/2 zwischen f(a) (=f(b)) und f(z).
Der Zwischenwertsatz liefert u und v mit a<u<z und z<v<b
f(u)=m, f(v)=m. Mit k:=(v-u)/(b-a) gilt wieder die Beh.

Fall II: f(a) != f(b):

Betrachte die Funktion
g(x)=f(x)+(f(a)-f(b))*(x-a)/(b-a),
g ist stetig mit g(a)=g(b) ( = f(a) ).

Nach I finden wir u,v,k mit v-u = k*(b-a) und
(1) g(v) - g(u) = k*(g(b) - g(a)) = 0 (da ja g(a)=g(b))
Einsetzen der Definition von g ergibt:
g(v) - g(u) = f(v)+(f(a)-f(b))*(v-a)/(b-a)-f(u)-(f(a)-f(b))*(u-a)/(b-a)
=f(v)-f(u) + (f(a)-f(b))*(v-u)/(b-a)
=f(v)-f(u) + k*(f(a) - f(b)) dies ist mit (1)
= 0
Aus f(v)-f(u) + k*(f(a) - f(b)) = 0
erhalten wir f(v)-f(u) = k*(f(b) - f(a))

Gruß,
Detlef


Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

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