Vektorprodukt

09/07/2011 - 10:11 von Jan Fricke | Report spam
Hallo,
ich suche einen eleganten Zugang zum Vektorprodukt im ℝ³. Dazu habe ich
es so definiert, dass

< a×b, c > = det(a, b, c).

Daraus bekomme ich sofort die Schiefsymmetrie, Bilinearitàt und, dass
a×b orthogonal zu a und b ist. Die Koordinatendarstellung gibt's dann
auch gratis.

Wie bekomme ich jetzt möglichst elegant die Lànge von a×b?
Wahrscheinlich am einfachsten über
< (a×b), (c×d) > = <a, c> * <b, d> - <a, d> * <b, c>,
aber wie bekomme ich die?


Viele Grüße Jan
 

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#1 Hendrik van Hees
09/07/2011 - 13:08 | Warnen spam
Jan Fricke wrote:

Hallo,
ich suche einen eleganten Zugang zum Vektorprodukt im ?³. Dazu habe ich
es so definiert, dass

< a×b, c > = det(a, b, c).

Daraus bekomme ich sofort die Schiefsymmetrie, Bilinearitàt und, dass
a×b orthogonal zu a und b ist. Die Koordinatendarstellung gibt's dann
auch gratis.

Wie bekomme ich jetzt möglichst elegant die Lànge von a×b?
Wahrscheinlich am einfachsten über
< (a×b), (c×d) > = <a, c> * <b, d> - <a, d> * <b, c>,
aber wie bekomme ich die?



Am einfachsten geht's, wenn man Deine Definition, die ohnehin nur für
Kartesische Komponenten gilt, im Riccikalkül notiert. Demnach ist

(a x b)_j=eps_{jkl} a_k b_l

(Summationskonvention versteht sich von selbst). Dabei ist eps_{jkl} das
Levi-Civita-Symbol, welches sich unter SO(3)-Trafos invariant ist unter
O(3)\SO(3)-Trafos aber das Vorzeichen wechselt; es handelt sich genauer
gesagt um eine Tensor-Dichte; wie gesagt alles gilt hier nur für
kartesische Komponenten. Der allgemeinere Fall erfordert ein wenig mehr
Arbeit, ist aber vielleicht erst einmal gar nicht notwendig.

Damit erhàltst Du erst mal die bac-cab-Formel geschenkt

(a x b) x c=b (a.c)-c (a.b).

Die beweist Du am besten, indem Du die obige Formel anwendest und dann in
einem Zweizeiler überlegst, daß

eps_{jkl} eps_{jmn}=delta_{km} delta_{ln}-delta(kn} delta_{lm}

ist.

Dann ist noch klar, daß

(a x b).c=eps_{jkl}a_k b_l c_j=eps_{klj}a_k b_l c_j=a.(b x c)

ist, d.h. "Punkt und Kreuz können im Spatprodukt vertauscht werden".

Dann folgt endlich die Antwort auf Deine Frage

|a x b|^2=(a x b).(a x b)=a.[b x (a x b)]=a.[a b.b-b a.b]=a^2 b^2-(a.b)^2

Nun ist aber

a.b=|a| |b| cos theta

und folglich

|a x b|=|a| |b| sin theta.

Dabei haben wir vorausgesetzt, daß immer der spitze Winkel zwischen den
Vektoren gemeint ist, also theta \in [0,pi].


Hendrik van Hees
FIAS Universitàt Frankfurt
http://fias.uni-frankfurt.de/~hees/
FAQ: http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/

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