Vektorraum- & Hilbertraum-Basis

17/09/2013 - 00:07 von Stephan Gerlach | Report spam
1.) Es gilt AFAIK der Satz 1

"Je 2 Basen
(e_i)_{i Element I} und
(f_j)_{j Element J}
eines R-Vektorraumes V haben dieselbe Màchtigkeit".

Dies folgt für den Fall eines endlich-dimensionalen V aus dem
Steinitz'schen Austauschsatz.
Kann man den Satz 1 für allgemeinen (unendlich-dimensionalen) Fall
irgendwie "leicht" auf den Fall endliche-dimensionaler Vektorràume
zurückführen? *Ohne* z.B. das Zorn'sche Lemma benutzen zu müssen?


2.) Es gilt AFAIK auch Satz 2

"Je 2 Orthonormalbasen
(e_i)_{i Element I} und
(f_j)_{j Element J}
eines R-Hilbertraumes H haben dieselbe Màchtigkeit".

Beachte hierbei, daß Orthonormalbasis was anderes ist als eine
(Hamel-)Basis im Vektorraum; außer im endlich-dimensionalen Fall. Ist
Satz 2 irgendwie "unmittelbar einleuchtend", oder muß man auch hier das
Lemma von Zorn (o.à.) bemühen?
Kann man das evtl. gar auf Satz 1 zurückführen? (Was mich aber wundern
würde, da Orthonormalbasis was anderes als Hamel-Basis ist.)


Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Martin Vaeth
17/09/2013 - 00:31 | Warnen spam
Stephan Gerlach wrote:

"Je 2 Basen
(e_i)_{i Element I} und
(f_j)_{j Element J}
eines R-Vektorraumes V haben dieselbe Màchtigkeit".
[...]
*Ohne* z.B. das Zorn'sche Lemma benutzen zu müssen?



Das bezweifle ich stark.
Für den Fall, dass I und J wohlgeordnet sind, sollte
der Beweis "straightforward" sein (Austauschsatz
per transfiniter Induktion - aufgrund der Wohlordnung
geht das dann in ZF, sogar ohne "F"), aber ohne
Auswahlaxiom kann man nicht einmal o.B.d.A. annehmen,
dass eine der beiden Indexmengen in der anderen enthalten
ist. Das ist zwar kein formaler Beweis, dass es ohne
Auswahlaxiom nicht geht, aber es würde mich sehr
überraschen, wenn es doch ginge.

Es gibt ein altes Paper von Làuchle, in dem
möglicherweise sogar ein Gegenbeispiel für eine
Mengenlehre mit Urelementen konstruiert wird -
ich habe es gerade nicht zur Hand - und sehr
wahrscheinlich làsst sich die selbe Idee heutzutage
mit "forcing" beschreiben, so dass man um die
Urelemente herumkommt.

"Je 2 Orthonormalbasen [...]"



Das gleiche in grün.

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