verallgemeinerungen von gruppen

22/01/2009 - 19:16 von Robert Figura | Report spam
Hallo,

oh wow, bei der englischen Wikipedia hat sich viel zum Thema Gruppen
getan seit ich das letzte mal nachgesehen habe. Ins Auge gesprungen ist
mir diese Tabelle hier:

http://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)#Generalizations

Das hab ich sofort mal für mich übersetzt:

Gruppe <0>
Monoid 0>
Semigruppe >
"Loop" <0>
Quasigruppe <-->
"Magma" >
Gruppoid |0|
Category 0|

Schlüssel: 0 ist die Null, links sind die Inverse, meint assoziativ
und nichtassoziativ. Pfeile> meint abgeschlossen und der Balken|
das Gegenteil. Wem das zu unübersichtlich ist der schaue sich den Link
oben an.

(Haben Loop und Magma eigendlich auch deutsche namen?)

Jetzt hab ich einiges nicht in der Tabelle gefunden:

assoziative Quasigruppe <==>
nichtassoziativer Monoid 0>

Hierbei mußte ich an einen Rig (einen Ring ohne Null) denken:
Gruppoid ohne Null |==|

Und ab hier verlàßt mich meine Vorstellungskraft für die Anwendung:
Quasigruppoid |--|
nichtabgeschlossene Semigruppe (?) |
nichtabgeschlossene "Magma" (?) |

Daß diese Verallgemeinerungen nicht in der Tabelle stehen ist sicher ein
Zeichen für die geringere Popularitàt aber jetzt bin ich neugierig ob
die Dinger nicht doch zu etwas Nütze sind.

Haben einige davon einen eigenen Namen?
Wie unpopulàr sind die eigendlich?
Wurde damit vielleicht doch schonmal was wichtiges/interessantes
angestellt?

Googeln könnt' ich natürlich selber aber weil ich davon keine Ahnung
habe würde ich mich besonders über einen Insidertipp freuen wo sich ein
Einstieg lohne könnte.

Grüße
- Robert Figura

/* mandlsig.c 0.42 (c) by Robert Figura */
I02;float O,o,i;main(l){for(;I--;putchar("oO .,t>neo.ckgel-t\
agidif@<ra urig FrtbeRo"[I%74?I>837&874>I?I^833:l%5:5]))for(O=o=l0;O*O+o*o<(16^l++);o=2*O*o+I/74/11.-1,O=i)i=O*O-o*o+I%74*.04-2.2;}
 

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#1 Marc Olschok
22/01/2009 - 21:07 | Warnen spam
Robert Figura wrote:

Hallo,

oh wow, bei der englischen Wikipedia hat sich viel zum Thema Gruppen
getan seit ich das letzte mal nachgesehen habe. Ins Auge gesprungen ist
mir diese Tabelle hier:

http://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)#Generalizations

Das hab ich sofort mal für mich übersetzt:

Gruppe <0>
Monoid 0>
Semigruppe >



Im deutschen wird "Halbgruppe" verwendet.

"Loop" <0>
Quasigruppe <-->
"Magma" >
Gruppoid |0|
Category 0|



Im deutschen wird "Kategorie" verwendet.


Schlüssel: 0 ist die Null, links sind die Inverse, meint assoziativ
und nichtassoziativ. Pfeile> meint abgeschlossen und der Balken|
das Gegenteil. Wem das zu unübersichtlich ist der schaue sich den Link
oben an.



Die altmodische Terminologie "abgeschlossen" halte ich für etwas
unglücklich, da sie etwa bei den letzten beiden Beispielen suggeriert,
dass man eine Multiplikation habe, deren Werte eben "außerhalb" der
betrachteten Grundmenge liegen.
Es ist besser, von "totalen" und "partiellen" Operationen zu sprechen,
wie auch das englischen Original nahelegt.


(Haben Loop und Magma eigendlich auch deutsche namen?)



Ich habe für "Loop" noch kein gebràuchliches deutsches Wort gesehen.
Für "Magma" gab es in der deutschsprachigen Literatur auch noch
die auf Boruvka zurückgehende Bezeichnung "Gruppoid".

Die Gruppoide im Sinn des oben zitierten Artilels gehen auf Brandt
zurück, weswegen man im deutschen zuweilen auch die Bezeichnung
"Brandsches Gruppoid" verwendet, um Verwechselungen zu vermeiden.


Jetzt hab ich einiges nicht in der Tabelle gefunden:

assoziative Quasigruppe <==>



Kein Wunder: eine (nichtleere) assoziative Quasigruppe Q hat
automatisch ein Einselement, ist also eine Gruppe.
Nimm etwa ein festes Element q aus Q.
Dann ist für jedes x in Q

x = (x/q)q(q\q) = x(q\q)
____^^^^^^^^^^
wobei hier wegen der Assoziativitàt auf die Klammerung verzichtet
werden kann

Genauso zeigt man (q/q)x = x und als Spezialfall
(q/q) = (q/q)(q\q) = (q\q)



nichtassoziativer Monoid 0>

Hierbei mußte ich an einen Rig (einen Ring ohne Null) denken:
Gruppoid ohne Null |==|



Die übliche Terminiologie ist etwas anders: ein Rig ist ein
"Ring ohne Negative". Eine Null darf er ruhig haben
(Beispiel: natürliche Zahlen mit 0).

Die Bezeichnung "Gruppoid ohne Null" ist nicht so gut: wie auch bei
Kategorien gibt es in Gruppoiden mehr als nur ein neutrales Element
bezüglich der Komposition. Außerdem könnte man ohne diese neutralen
Element nicht mehr so einfach definieren, was denn mit "invertierbar"
gemeint sein soll. Wenn man es wie bei Quasigruppen versucht, also
mittels Operation "/" und "\" dürfte es darauf hinauslaufen, dass
die (x/x) bzw. (x\x) sich wgene der Assoziativitàt ieder als partielle
neutrale Elemente entpuppen (ich habe das aber nicht nachgeprüft).


Und ab hier verlàßt mich meine Vorstellungskraft für die Anwendung:
Quasigruppoid |--|
nichtabgeschlossene Semigruppe (?) |
nichtabgeschlossene "Magma" (?) |

Daß diese Verallgemeinerungen nicht in der Tabelle stehen ist sicher ein
Zeichen für die geringere Popularitàt aber jetzt bin ich neugierig ob
die Dinger nicht doch zu etwas Nütze sind.

Haben einige davon einen eigenen Namen?
Wie unpopulàr sind die eigendlich?
Wurde damit vielleicht doch schonmal was wichtiges/interessantes
angestellt?



Ich glaube, den Bezeichnung Quasikategorie im Sinne von
"Kategorie ohne Identitàten" schon einmal irgendwo gesehen zu haben.
Dies entspràche dann Deinen obigen "nichtabgeschlossenen Semigruppen"
(zur Terminologiekritik, siehe weiter oben).

Das letzte wàre einfach eine partielle binàre Operation auf einer Menge.


Googeln könnt' ich natürlich selber aber weil ich davon keine Ahnung
habe würde ich mich besonders über einen Insidertipp freuen wo sich ein
Einstieg lohne könnte.



Kommt darauf an wofür. Persönlich würde ich von den obigen Varianten
die Beschàftigung mit Kategorien, Gruppoiden, Monoiden und Halbgruppen
als lohnend einschàtzen. In erster Linie, weil sich genügend
Querverbindungen mit weiten Teilen der Mathematik ergeben.

Marc

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