Verflixte Zinsrechnung

25/04/2009 - 03:35 von Dieter Frank | Report spam
Für eine Kapitalanlege in Höhe von a (in Euro) mit monatlicher
Entnahme von b (in Euro) wird für eine Laufzeit von c (in Jahren) ein
Zins von d (in Prozent) gutgeschrieben. Von Banken wird so etwas
üblicherweise Auszahlplan, Entnahmeplan oder Anlage mit Kapitalverzehr
genannt.

a und b sind von mir wàhlbare Größen. c und d sind Konditionen der
Bank.

Das Kapital (a) soll am Ende der Laufzeit (c) genau aufgebraucht sein.

1. Gegegen sei die Kapitalmenge a (und natürlich c und d). Nach
welcher Formel kann ich meine monatliche Entnahme (b) dafür ermitteln?

2. Gegeben sei die monatliche Entnahme b (und natürlich c und d). Nach
welcher Formel kann ich das dafür notwendge Kapital (a) ermitteln?
 

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#1 Roland Franzius
25/04/2009 - 07:11 | Warnen spam
Dieter Frank schrieb:
Für eine Kapitalanlege in Höhe von a (in Euro) mit monatlicher
Entnahme von b (in Euro) wird für eine Laufzeit von c (in Jahren) ein
Zins von d (in Prozent) gutgeschrieben. Von Banken wird so etwas
üblicherweise Auszahlplan, Entnahmeplan oder Anlage mit Kapitalverzehr
genannt.

a und b sind von mir wàhlbare Größen. c und d sind Konditionen der
Bank.

Das Kapital (a) soll am Ende der Laufzeit (c) genau aufgebraucht sein.

1. Gegegen sei die Kapitalmenge a (und natürlich c und d). Nach
welcher Formel kann ich meine monatliche Entnahme (b) dafür ermitteln?

2. Gegeben sei die monatliche Entnahme b (und natürlich c und d). Nach
welcher Formel kann ich das dafür notwendge Kapital (a) ermitteln?





Wenn das eingezahlte Kapital zur zeit t=0 K(0)=1 ist, der Zinssatz p und
die konstante Entnahmerate r als Bruchteil des Anfangskapitals 1, ist
die Lösung der Differentialgleichung



K>0, K(0) = 1
K' = p K - r

die Funktion

K(t) = r/p + e^(p t)(1-r/p)

Daraus ergibt sich die Zeit t_max für den Verzehr bis zum erreichen des
Nullpunkts

0 = r/p + e^(p t_max)(1-r/p)

->

t_max= log(r/(r-p))/p

also zum Beispiel bei Jahresraten p=3% und r =5% t_max= 30.543

oder man löst nach r auf und findet

r = p /(1-e^(-p tmax)

woraus zB r=p folgt, wenn man tmax=oo haben möchte.

Man kann in der Formel natürlich auch die Monatsraten einsetzen und
erhàlt dann die Zeit in Monaten.

Bei Verzinsung p und Raten r in den zZt üblichen Prozentbereichen ist
der Fehler der Lösung der Differentialgleichung gegen die der
Differenzengleichung finanziell unerheblich gegenüber den Bankgebühren.


Roland Franzius

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