Verfolgungskurve

03/12/2008 - 09:17 von Jutta Gut | Report spam
Hallo!

In einem Ràtsel von Sam Loyd geht es um einen Mann, der einem Schwein
nachlàuft. Am Anfang steht er südlich vom Schwein. Das Schwein làuft genau
nach Osten, und der Mann làuft immer direkt auf das Schwein zu. Er ist 4/3
so schnell wie das Schwein. Loyd schreibe in seiner Antwort: "Um Aufgaben
dieser Art zu lösen, sollten Sie zuerst feststellen, welche Entfernung der
Mann zurücklegen muss, um das Schwein zu fangen, wenn sich Schwein und Mann
beide auf einer geraden Linie fortbewegen. Fügen Sie dann die Strecke hinzu,
die der Mann zurücklegen würde, um das Schwein zu fangen, wenn sie beide auf
einer geraden Linie aufeinander zulaufen würden. Teilen Sie das Ergebnis
durch zwei, dann haben Sie die Entfernung, die der Mann zurücklegt."

Laut http://de.wikipedia.org/wiki/Verfolgungskurve stimmt das Ergebnis: Die
Nullstelle der Verfolgungskurve ist bei (1/(1-k) - 1/(1+k))/2 = k/(1-k^2),
und weil der Verfolger 1/k mal so schnell ist, legt er die Strecke 1/(1-k^2)
zurück. Das stimmt mit Loyds Lösung überein. (Ich finde die Ableitung in dem
Wikipedia-Artikel ziemlich wirr.)

Ich glaube aber nicht, dass Loyd Differentialgleichungen lösen konnte. Gibt
es für diese Lösung eine elementare Erklàrung, so wie z.B. beim 4-Kàfer-
(oder Hunde-)Problem?

Grüße
Jutta
 

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#1 Ralf Kusmierz
03/12/2008 - 13:15 | Warnen spam
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begin quoting, Jutta Gut schrieb:

Ich glaube aber nicht, dass Loyd Differentialgleichungen lösen konnte.



Warum glaubst Du das?

Gibt es für diese Lösung eine elementare Erklàrung, so wie z.B. beim 4-Kàfer-
(oder Hunde-)Problem?



Ich habe es jetzt nicht durchdacht (sorry!), aber vielleicht so:

Stell Dir zu irgendeinem Zeitpunkt das Schwein im Ursprung des
Koordinatensystems vor (d. h., wàhle es entsprechend) und laß es in
y-Richtung wetzen. Dann gibt es einen Punkt y_T>0, an dem sich Mann
und Schwein treffen würden, wenn der Mann geradlinig auf (0, y_t)
zulaufen würde. y_T und die Entfernung des Manns von (0, y_t) sind
proportional zu ihren Geschwindigkeiten v_S und v_M, d. h. man kann
die entsprechenden Strecken als Geschwindigkeitsvektoren aufzeichnen.
Für die Laufzeit bis zum Treffpunkt maßgeblich ist die
Geschwindigkeitsdifferenz in y-Richtung, und wenn phi der Winkel
zwischen Laufrichtung des Manns (stell ihn Dir in der linken Halbebene
vor) und der x-Richtung ist, dann ist

Delta_v_y = v_M * sin phi - v_S = -c * y_M (c>0).

Die Zeit bis zum Zusammentreffen wàre dann

Delta_t = -y_m / Delta_v_y = 1/c

Nun drehe den Geschwindigkeitsvektor des Manns um dessen Standort so,
daß er auf das Schwein zeigt, also durch den Nullpunkt geht. Dann
betràgt die Differenzgeschwindigkeit

|Delta_v| =
SQRT(v_M^2 + v_S^2) * SQRT(1-2*(v_M*v_S*sin(phi))/(v_M^2 + v_S^2))

Die Behauptung war nun wegen Delta_s = Delta_v * Delta_t

Delta_s = 1/2 * (|(x_M, y_T - y_M)| + |(x_M, y_M)|*(1 - v_S/v_M))
= Delta_v * Delta_t = Delta_v/c

Vielleicht sind in der differentiellen Betrachtung für kurze
Zeitabschnitte die Differenzgeschwindigkeiten passend, und wenn das
für kurze Zeitabschnitte gàlte, dann natürlich auch für die gesamte
Bogenlànge.

Wie sieht die Angelegenheit übrigens im Schwerpunktsystem der
Positionen "Schwein" und "Mann" aus, kommt da etwas Übersichtliches
heraus? Man muß die Strecken wegen der konstanten
Tangentilageschwindigkeiten ja nicht aufintegrieren, sondern braucht
nur die Zeit zu betrachten.


Gruß aus Bremen
Ralf
R60: Substantive werden groß geschrieben. Grammatische Schreibweisen:
adressiert Appell asynchron Atmosphàre Autor bißchen Ellipse Emission
gesamt hàltst Immission interessiert korreliert korrigiert Laie
nàmlich offiziell parallel reell Satellit Standard Stegreif vorau

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