Verfolgungsproblem im 2D

03/08/2011 - 08:15 von carlox | Report spam
Hallo allerseits,
Spieler P1 bewegt sich im 2D (zweidimensionalen Raum) mit konstanter
Geschwindigkeit v1,
Spieler P2 bewegt sich auch im 2D mit konstanter Geschwindigkeit
v2<v1.
Jeder Spieler kann seine Richtung nach Belieben aendern.
Dies ist ein Differentialspiel (so habe ich gelesen).

1)
Gibt es eine Strategie fuer P1, dass er P2 faengt.

2)
Gibt es eine Strategie fuer P2, dass er von P1 nicht gefangen wird?

3)
Ist dies nicht offensichtlich ?
Da v1 > v2 ist, faengt P1 irgendwann P2.
Oder wo mache ich da einen Denkfehler (Ich bitte um ein
Gegenbeispiel).
bzw. um eine Strategie fuer P2, wo seine Zeit bis er eingefangen wird
(=Fangzeit), moeglichst groß wird

4) Ich habe folgendes gemacht:
Die Strategie von P1 ist es, immer seine Bewegungsrichtung direkt auf
P2 zu halten.
a) Eine Strategie S1 von P2:
P2 bewegt sich immer in direkter Linie weg von P1.
D.h. P1 und P2 sind auf einer Geraden.
Da v1 > v2, wird P2 irgendwann gefangen.

b) Eine Strategie S2 von P2:
P2 bewegt sich immer senkrecht zur Bewegungsrichtung von P1.
Ich habe dies durch ein einfaches selbstgeschriebenes Programm
getestet:
P2 wird dort schneller gefangen, als bei S1.
Das haette ich nicht erwartet.
Ist dies in Wirklichkeit so, oder ist mein Programm so schlecht?
Gibt es eine Formel, die die Fangzeit berechnet?


mfg
Ernst
 

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#1 Jan Fricke
03/08/2011 - 10:36 | Warnen spam
On 08/03/2011 08:15 AM, Ernst Baumann wrote:
[P1 mit v1 versucht P2 mit v2 zu fangen]

4) Ich habe folgendes gemacht:
Die Strategie von P1 ist es, immer seine Bewegungsrichtung direkt auf
P2 zu halten.
a) Eine Strategie S1 von P2:
P2 bewegt sich immer in direkter Linie weg von P1.
D.h. P1 und P2 sind auf einer Geraden.
Da v1> v2, wird P2 irgendwann gefangen.



Genau. Du kannst die Zeit sogar genau ausrechnen: Wenn sie den Abstand s
haben, dann wird dieser am P1-Ende immer mit Geschwindigkeit v1
verkürzt, am P2-Ende mit Geschwindigkeit v2 verlàngert. Der Abstand
verkürzt sich also mit Geschwindigkeit (v1-v2), die Zeit ist also s/(v1-v2).

b) Eine Strategie S2 von P2:
P2 bewegt sich immer senkrecht zur Bewegungsrichtung von P1.



Wir schauen uns wieder den Abstand zwischen beiden an. P1 làuft auf P2
zu, d.h. an seinem Ende wird der Abstand mit Geschwindigkeit v1
verkürzt. P2 jedoch làuft senkrecht dazu -- dadurch ist die
resultierende Änderungsgeschwindigkeit Null! Der abstand verkleinert
sich also mit der Geschwindigkeit v1, die Zeit betràgt s/v1.

Ich habe dies durch ein einfaches selbstgeschriebenes Programm
getestet:
P2 wird dort schneller gefangen, als bei S1.
Das haette ich nicht erwartet.
Ist dies in Wirklichkeit so, oder ist mein Programm so schlecht?
Gibt es eine Formel, die die Fangzeit berechnet?


Siehe oben.


Es gibt dazu eine àhnliche Aufgabe: An den vier Eckpunkten eines
Quadrates stehen 4 Leute. Diese laufen alle gleichzeitig mit gleicher
gleichbleibender Geschwindigkeit los, und zwar làuft jeder in Richtung
"des nàchsten" (z.B. im Uhrzeigersinn). Wie lange dauert es, bis sie
sich treffen?


Viele Grüße Jan

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