Verständnisfragen zum starken Äquivalenzprinzip der ART

19/06/2012 - 17:29 von SCR | Report spam
Hallo zusammen,


Laut wikipedia:

Das einsteinsche starke Äquivalenzprinzip besagt, dass ein Beobachter in einem
geschlossenen Labor ohne Wechselwirkung mit der Umgebung durch überhaupt
kein Experiment feststellen kann, ob er sich in der Schwerelosigkeit fernab von Massen
befindet oder im freien Fall nahe einer Masse.

Eine àquivalente aber mathematisierte und mit den Begriffen der allgemeinen
Relativitàtstheorie ausgedrückte Formulierung des starken Äquivalenzprinzips lautet:
Ein homogenes Gravitationsfeld entspricht einer gleichmàßigen Beschleunigung in
einer flachen Raumzeit. Außerdem weicht im Koordinatensystem eines frei fallenden
Beobachters die Metrik für kleine raumzeitliche Abstànde zum Referenzraumzeitpunkt
nur wenig von einer flachen Metrik ab. [...]
Kurz: Im Lokalen Inertialsystem gelten die Gesetze der SRT.

Es muss allerdings beachtet werden, dass dieses Prinzip nur lokal gilt:
* So wird ein „unten“ (nàher am Gravizentrum) befindliches Objekt stàrker
angezogen als ein weiter „oben“ befindliches. Ist der frei fallende Raum in
vertikaler Richtung groß genug, so wird der Beobachter daher feststellen,
dass Objekte, die sich weiter oben befinden, von denen, die sich weiter unten
befinden, entfernen.
* Umgekehrt wird sich bei ausreichender horizontaler Ausdehnung des Raumes
die Richtung der Anziehungskraft auf zwei horizontal voneinander entfernte Objekte
merklich unterscheiden, da sie beide in Richtung des Gravitationszentrums
beschleunigt werden. Daher wird der frei fallende Beobachter feststellen, dass weit
auseinander gelegene Körper sich aufeinander zu bewegen. Ein ausgedehnter
Körper wird also eine Kraft erfahren, die ihn in eine Richtung auseinanderzieht und
in den dazu senkrechten Richtungen zusammendrückt.




Diese im wiki genannten Einschrànkungen sind gleichbedeutend mit der Aussage, dass "Gezeitenkràfte nicht wegtransformiert werden können."

Stellen wir uns nun folgende Beobachter vor:
- Beobachter 1 zu einer massiven Hohlkugel infinitesmal dünner Wandstàrke im Unendlichen feldfrei ruhend
- Beobachter 2 auf diese Hohlkugel frei zufallend
- Beobachter 3 auf der Oberflàche dieser Hohlkugel stehend
- Beobachter 4 in der Nàhe / auf Höhe Beobachter 1 beschleunigend
- Beobachter 5 im Inneren der Hohlkugel ruhend

Alle Beobachter seien mit identischen Uhren und identischen Einheitsmaßstàben (feldfrei gemessen) ausgestattet.

Laut ÄP sind bei lokaler Betrachtung (= bei Vernachlàssigung der Gezeitenkràfte)
- Beobachter 1 und Beobachter 2
- Beobachter 3 und Beobachter 4
als àquivalent anzusehen.

Frage 1:
Äquivalent ist nicht gleichbedeutend mit identisch.
Die Einheitsmaßstàbe und Uhren von Beobachter 1 und Beobachter 2 sind verschieden - Je nàher sich Beobachter 2 an der Massenansammlung befindet desto langsamer geht seine Uhr und desto kürzer ist sein (radial ausgerichteter) Einheitsmaßstab.
Erst darauf aufbauend findet das Relativitàtsprinzip der SRT (= Die entsprechende Berücksichtigung der relativen Bewegung von Beobachter 1 zu Beobachter 2; Dopplereffekt) Anwendung.
Ist das korrekt?

Frage 2:
Aus der Sicht von von Beobachter 3 kann bezüglich der Massenansammlung ein EH angegeben werden, dem sich Beobachter 2 nur asymptotisch nàhern, diesen aber niemals überschreiten wird
(Anmerkung: Beobachter 1 und Beobachter 4 stimmen hinsichtlich dieser Beobachtung mit Beobachter 3 im Grundsatz überein).
Auch hinter (dem im Unendlichen in der Nàhe / auf Höhe Beobachter 1 beschleunigenden) Beobachter 4 bildet sich ein Horizont aus.
Angenommen, Beobachter 4 möge geradlinig von Beobachter 1 wegbeschleunigen - Im Gegensatz zum vorangegangenen Beispiel kann hier Beobachter 1 aus Sicht Beobachter 4 sehr wohl hinter diesen Horizont fallen.
Ist das korrekt?

Frage 3:
Auch hinter dem frei auf die Massenansammlung zufallenden Beobachter 2 bildet sich ein Horizont aus - Dahinter ausgestrahltes Licht kann ihn nicht mehr erreichen.
Im Gegensatz zu Beobachter 3 und Beobachter 4 ist Beobachter 2 kràftefrei beschleunigt.
Im Gegensatz zu Beobachter 4 und Beobachter 2 wiederum kann der Horizont von Beobachter 3 nicht durch die Ergreifung einer geeigneten Maßnahme (im Sinne 'Selbst-aktiv-Werden' - konkret Beendigung bzw. Einleitung einer Beschleunigung) aufgehoben werden.
Ist das korrekt?

Frage 4:
Im Rahmen von Koordinatentransformationen in Bezug auf Beobachter 1, 2 und 4 sind Beobachter 3 und Beobachter 5 identisch zu behandeln, obwohl auf Beobachter 3 (Beschleunigungs-)Kràfte wirken, auf Beobachter 5 dagegen nicht.
Laut ÄP müssten Beobachter 1, Beobachter 2 und Beobachter 5 àquivalent zueinander sein. Hinsichtlich Beobachter 2 und Beobachter 5 ist allerdings das zu Frage 1 Gesagte zu Berücksichtigen, bevor das Relativitàtsprinzip zwischen ihnen angewendet werden darf.
Ist das korrekt?

(Soweit erst einmal bis hierhin)
Gruß
SCR
 

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#1 Gregor Scholten
20/06/2012 - 11:57 | Warnen spam
Am Dienstag, 19. Juni 2012 17:29:01 UTC+2 schrieb SCR:
Stellen wir uns nun folgende Beobachter vor:
- Beobachter 1 zu einer massiven Hohlkugel infinitesmal dünner Wandstàrke im Unendlichen feldfrei ruhend
- Beobachter 2 auf diese Hohlkugel frei zufallend
- Beobachter 3 auf der Oberflàche dieser Hohlkugel stehend
- Beobachter 4 in der Nàhe / auf Höhe Beobachter 1 beschleunigend
- Beobachter 5 im Inneren der Hohlkugel ruhend

Alle Beobachter seien mit identischen Uhren und identischen Einheitsmaßstàben (feldfrei gemessen) ausgestattet.

Laut ÄP sind bei lokaler Betrachtung (= bei Vernachlàssigung der Gezeitenkràfte)



lokale Betrachtung heißt nicht nur, dass die Gezeitenkràfte außer acht gelassen werden, sondern dass jeder Beobachter nur Beobachtungen in seiner unmittelbaren Umgebung macht. Z.B. beobachter Beobachter 1 nicht die (für ihn ferne) Hohlkugel.


Frage 1:
Äquivalent ist nicht gleichbedeutend mit identisch.
Die Einheitsmaßstàbe und Uhren von Beobachter 1 und Beobachter 2 sind verschieden - Je nàher sich Beobachter 2 an der Massenansammlung befindet desto langsamer geht seine Uhr



das spielt keine Rolle, da die Betrachtung ja lokal sein soll. Die gravitative Zeitdilatation ist erst bei nicht-lokaler Betrachtung relevant, wenn man z.B. die Uhren zweier weit entfernter Beobachter vergleicht.


und desto kürzer ist sein (radial ausgerichteter) Einheitsmaßstab.



und das ist sogar ganz falsch. Dass sich die rr-Komponente des metrischen Tensors in der Schwarzschilmetrik in Schwarzschildkoordinaten mit der Radialkoordinate àndert, drückt die Krümmung des Raumes aus (das Verhàltnis von Kreisradius und Kreisumfang ist nicht mehr 2 pi), nicht irgendeiner Verkürzung von Maßstàben.


Erst darauf aufbauend findet das Relativitàtsprinzip der SRT (= Die entsprechende Berücksichtigung der relativen Bewegung von Beobachter 1 zu Beobachter 2; Dopplereffekt) Anwendung.



sicher nicht. Die SRT ist im Gravitationsfeld nur lokal anwendbar (wie auch das Äquivalenzprinzip), du aber willst keine lokale Betrachtungsweise zugrundelegen.


Ist das korrekt?



nein. Das Äquivalenzprinzip geht von einer lokalen Betrachtungsweise aus, du hingegen nicht.


Frage 2:
Aus der Sicht von von Beobachter 3 kann bezüglich der Massenansammlung ein EH angegeben werden, dem sich Beobachter 2 nur asymptotisch nàhern, diesen aber niemals überschreiten wird



nicht im Rahmen einer lokalen Betrachtungsweise. Beobachter 2 und 3 sind für einander nicht lokal. Abgesehen davon hast du nichts davon gesagt, dass deine Hohlkugel ein schwarzes Loch sein soll. Wenn sie das nicht ist, gibt es auch keinen EH, und Beobachter 2 erreicht innerhalb endlicher Schwarzschild-Koordinatenzeit die Oberflàche der Hohlkugel.


(Anmerkung: Beobachter 1 und Beobachter 4 stimmen hinsichtlich dieser Beobachtung mit Beobachter 3 im Grundsatz überein).



nicht im Rahmen einer lokalen Betrachtungsweise. Im Rahmen einer lokalen Betrachtungsweise stimmen die 5 Beobachter in gar keiner Beobachtung überein, da es keine gemeinsamen Beobachtungen gibt. Die gàbe es nur bei einer nicht-lokalen Betrachtungsweise.

Lediglich Beobachter 2 und 3 sind vorübergehend lokal beisammen, wenn Beobachter 2 an Beobachter 3 vorbeifàllt.


Auch hinter (dem im Unendlichen in der Nàhe / auf Höhe Beobachter 1 beschleunigenden) Beobachter 4 bildet sich ein Horizont aus.



du meinst wegen seiner Beschleunigung? Das ist aber ebenfalls nicht lokal.


Angenommen, Beobachter 4 möge geradlinig von Beobachter 1 wegbeschleunigen - Im Gegensatz zum vorangegangenen Beispiel kann hier Beobachter 1 aus Sicht Beobachter 4 sehr wohl hinter diesen Horizont fallen.
Ist das korrekt?



nicht im Rahmen einer lokalen Betrachtungsweise.


Frage 3:
Auch hinter dem frei auf die Massenansammlung zufallenden Beobachter 2 bildet sich ein Horizont aus - Dahinter ausgestrahltes Licht kann ihn nicht mehr erreichen.



falsch. Da das Gravitationszentrum kein schwarzes Loch ist, gibt es auch keine zentrale Singularitàt, in die Beobachter 2 fàllt. Beobachter 2 erreicht die Oberflàche der Hohlkugel und prallt dann entweder von ihr ab oder fàllt durch sie hindurch. Wenn er durch sie hindurchfàllt, erreicht er früher oder spàter den Kugelmittelpunkt und fàllt durch diesen hindurch. Er bewegt sich dann auf der anderen Seite wieder aus der Hohlkugel heraus und wird dann durch deren Gravitation abgebremst. Im einen wie im anderen Fall (Abprall oder Hindurchfallen) entfernt er sich anschließend verlangsamt von der Hohlkugel.


Im Gegensatz zu Beobachter 3 und Beobachter 4 ist Beobachter 2 kràftefrei beschleunigt.



dann soll er wohl eher durchfallen als abprallen (im Augenblick des Abpralls wàre er nicht kràftefrei).


Im Gegensatz zu Beobachter 4 und Beobachter 2 wiederum kann der Horizont von Beobachter 3 nicht durch die Ergreifung einer geeigneten Maßnahme (im Sinne 'Selbst-aktiv-Werden' - konkret Beendigung bzw. Einleitung einer Beschleunigung) aufgehoben werden.



es gibt gar keinen Horizont.


Frage 4:
Im Rahmen von Koordinatentransformationen in Bezug auf Beobachter 1, 2 und 4 sind Beobachter 3 und Beobachter 5 identisch zu behandeln,



warum das denn? Und was sind überhaupt "Koordinatentransformationen in Bezug auf Beobachter 1, 2 und 4"? Ich kenne Koordinatentransformationen, aber eigentlich nicht in Bezug zu irgendjemandem.


Laut ÄP müssten Beobachter 1, Beobachter 2 und Beobachter 5 àquivalent zueinander sein.



lokal betrachtet, ja.


Hinsichtlich Beobachter 2 und Beobachter 5 ist allerdings das zu Frage 1 Gesagte zu Berücksichtigen, bevor das Relativitàtsprinzip zwischen ihnen angewendet werden darf.



das zu Frage 1 gesagte ist falsch. Das Relativitàtsprinzip der SRT ist ebenso wie das Äquivalenzprinzip nur lokal anwendbar. Das zu Frage 1 gesagte ist aber nicht lokal.

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