Versuch einer anschaulichen Definition eines verallgemeinertem Vektor-/(Kreuz-)Produktes

09/06/2010 - 23:36 von neubert | Report spam
Moin moin!

Ich bezieh nich auf "meine Beiden" Treads zum Thema diophantische
Gleichung,
speziell auf eine Antworten von Jutta Gut
- der ich ausdrücklich für ihre Beitràge danke.
Ob der Jutta denn nun die Fiels-Medalie zugestanden wird ... ;o) ,
wobei ich das gar nicht làsterhaft meine!

Ich beginne mal mit Beispielen und benutze den bekannten
Vektorkalkül::

2x +y =1, also X0=(1,-1), A=(2,1) und U=(1,-2),
so daß A*X0=1 und A*U=0 (also A senkrecht auf U)
Damit X:= X0+uU = (1,-1) +u(1,-2) = ( 1+u, -(1+2u) )
gibt das vollstàdige Lösungsgitter wieder.

Die Aufgabe ist im IR^2 gestellt,
der Unterraum U ist eindimensional
und der Vektor senkrecht auf U ist A
und damit | U | = | A |, d.h. U hat den Betrag der Lànge von A.

Als Beispiel im IR^3 siehe man mein originàres Beispiel
ax +by +cz = 11x +9y -125z = 14 (bzw. = 1).
Also mit A=(11,9,-125) und X0=(130, 176, 24) ,
U=(9, -11, 0) und V=((4, 9, 1) gilt
X= X0+uU+vV sowie A*U=A*V=0,
also A senkrecht auf <U,V>
und | UxV | = | (-11,-9,125) | = | A |

Hier ist der Unterraum <U,V> zweidimensional
und der Vektor UxV senkrecht auf <U,V>
mit dem Betrag | A |, d.h. U hat den Betrag der Flàche
des von U und V aufgespannten Parallelograms.

Nun der Definitionsversuch:

Seien X,A,U,V und W Vektoren im IR^3

Das Kreuzprodukt zwischen den Vektoren U,V,W im ÎR^4,
in Zeichen x(U,V,W)
steht senkrecht auf <U,V,W>
und hat den Betrag des Volumens des Paralelepipets
das von U, V und W aufgespannt wird.

Per definition hat x(U,V,W) die Richtung von A
und den Betrag | x(U,V,W) | = [UVW] - auch Spatprodukt.
(x steht u.a. hier auch als Operator für das Kreuzprodukt
- Pardon auch für diese Unsauberkeit! )
Es gilt dafür mit M als Matrix aus den Vektorkoeffizienten:
| x(U,V,W) | = [UVW] = | det( M ) |

(Eine Frage wàre, ob auch wieder
| x(U,V,W) | = | A | gilt und ob dieses equivalent
zur besagten "Minimalforderung" gilt!)

Im Zusammenhang mit "meinen" originàren Threads zu diophantischen
Gleichungen,
wàre nach Jutta
- und ich habe den Eindruck da ist was dran -
zu zeigen, daß,
wenn die Koeffizienten von x(U,V,W) teilerfremd sind,
man dann eine - "in meinen Worten"
minimale Basis U,V,W des 3 dimensionalen Lösungsunterraums (Gitters)
des IR^4 bzw. IZ^4 hat.

Das làßt sich weiter verallgemeinern,
ohne Bezug auf die Raumdimension n zu nehmen:

x(U,V,W,...) hat die Richtung von A
und den Betrag des Paralelepipets des von U,V,W,... aufgespanten
"Volumens",
daß sich allg. Errechnet zu VolP= | det( M ) |
mit M, quadratische Matrix aus den Vektornkoeffizienten der
U,V,W, ... .

(Das ließe sich noch weiter verallgemeinern für Systeme linearer
diophantischer Gleichungen, bei denen der Lösungsraum keine
Hyperflàche der Dimension n-1 ist und das weiter verallgemeinerte
Kreuzprodukt kein Vektor sondern ein Raum mit der Co-Dimension der
Freiheitsgrade des Gleichungssystems mit dem Attribut des Volumens des
entsprechend dimensionierten Parallelepipets.
Was das dann für eine Deutung haben könnte ist mir heute Abend nahezu
völlig unbestimmt.)

Im IR^3 (mir scheint nun IZ^3 genauer/besser), schreibt sich x(U,V)
als UxV.
Und im IR^2 (versus IZ^2) könnte man x(U) auch - per Definition! - als
xU schreiben.

Mir scheint, daß das eine konsistente Definition eines (in erster
Stufe) verallgemeinerten Kreuzproduktes sein könnte (Wohldefiniert!?)
und damit wohlmöglich das vorliegen einer "Minimal"-Basis equivalent
damit ist, daß die Koeffizienten des Vektors x(U,V,W,...) den ggT=1
haben,
eben Teilerfremd sind.

Soweit vorerst, ich stelle das hier mal zur Diskusion
(ohne schon alles was mir möglich wàre verifiziert zu haben)
und auch ohne die reale Möglichkeit eines Vergleichs zur Definition im
Differentialkalkül!).,.

Mit freundlichen Grüßen

Siggi N. - Hamburg

P.S.: Ich kann heuteabend auch einfach nicht mehr. ;o)
Mal sehen, wann ich zu weiterm komme.
 

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#1 ram
10/06/2010 - 03:42 | Warnen spam
writes:
Soweit vorerst, ich stelle das hier mal zur Diskusion
(ohne schon alles was mir möglich wàre verifiziert zu haben)
und auch ohne die reale Möglichkeit eines Vergleichs zur Definition im
Differentialkalkül!).,.



Im allgemeinen kann man x_0 ^ x_1 ^ ... ^ x_(n-1) als eine
»n-dimensionale Volumenform« ansehen. Im R^n kann man aus
einer (n-1)-dimensionalen Volumenform durch die
*-Konjugation tatsàchlich ein Kreuzprodukt von n-1 Vektoren
definieren. Nur gibt es im R^4 eben kein Kreuzprodukt u × v
von /zwei/ Vektoren, wie im R^3, aber durchaus noch das
/àußere/ Produkt u ^ v zweier Vektoren - nur kann man dort
WIMRE keine *-Konjugation *( u ^ v ) davon bilden.

Siehe auch: ab Seite 95 unten in

http://home.mathematik.uni-freiburg...ipt/la.pdf

.

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