Versuchen, bis es einmal klappt

11/05/2012 - 15:38 von Benno Hartwig | Report spam
Angenommen ein Experiment ist mit Wahrscheinlichkeit p
erfolgreich. Ich möchte gern p schàtzen.

Ich kann diesen Versuch allerdings nur so lange wiederholen,
bis er das erste mal erfolgreich ist.
Ich habe dann also x Fehlversuche und schließlich den 1 Erfolg.

Toll sind die Schàtzmöglichkeiten für p dann ja wohl nicht,
aber wàre dann
_p_ = 1 / (x+1)
der beste Schàtzwert?
Wie gut oder schlecht wàre er dann?

Ist der 3. Versuch erfolgreich, dann ist _p_=1/3 vielleicht
wirklich wenig mehr als 'frei geraten'.
Ist aber der 1000. Versuch erfolgreich, so ist
_p_=1/1000 insofern schon etwas aussagefàhig, weil
p wohl wirklich recht klein ist.

Benno
 

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#1 Jan Fricke
11/05/2012 - 16:06 | Warnen spam
On 05/11/2012 03:38 PM, Benno Hartwig wrote:
Angenommen ein Experiment ist mit Wahrscheinlichkeit p
erfolgreich. Ich m�chte gern p sch�tzen.

Ich kann diesen Versuch allerdings nur so lange wiederholen,
bis er das erste mal erfolgreich ist.
Ich habe dann also x Fehlversuche und schlie�lich den 1 Erfolg.

Toll sind die Sch�tzm�glichkeiten f�r p dann ja wohl nicht,
aber w�re dann
_p_ = 1 / (x+1)
der beste Sch�tzwert?
Wie gut oder schlecht w�re er dann?


Schàtzer zu vergleichen ist ganz schwer. :)

Als sinnvolle Methode zum Schàtzen hat sich die
Maximum-Likelihood-Methode erwiesen, siehe

http://de.wikipedia.org/wiki/Maximu...od-Methode

Dort macht man folgendes: Angenommen, der gesuchte Parameter ist p. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit hat man dann den ersten Erfolg im (x+1)-ten
Versuch? Die Antwort lautet:

P[p] = (1 - p)^x * p

Die Maximum-Likelihood-Methode sagt nun: Nimm den Parameter p, für den
diese Wahrscheinlichkeit maximal wird.

Und siehe da: Das Maximum wird für p = 1/(x+1) erreicht. Du hast also
genau das getan, was der Maximum-Likelihood-Schàtzer auch vorschlagen würde.

Zur Bewertung ist immer noch interessant zu wissen, ob der Schàtzer
erwartungstreu ist, d.h. wenn viele Klone von Dir dieses Experiment
machen würden, bekàmen sie dann im Mittelwert den richtigen Wert?

Dafür müssen wir den Erwartungswert von 1/(x+1) bei obiger Verteilung
ausrechnen, also

sum(x=0..inf, 1/(x+1) * (1-p)^x * p)

Das ergibt ln(p)*p/(p-1), im Schnitt schàtzt Du also etwas zu hoch.
(Schau Dir mal den Plot der Funktion an!)

Ist der 3. Versuch erfolgreich, dann ist _p_=1/3 vielleicht
wirklich wenig mehr als 'frei geraten'.
Ist aber der 1000. Versuch erfolgreich, so ist
_p_=1/1000 insofern schon etwas aussagef�hig, weil
p wohl wirklich recht klein ist.


Für kleine Werte von p liegt man tatsàchlich sehr viel eher daneben!
(Siehe Funktionsplot obiger Funktion.)


Viele Grüße Jan

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