Vertauschbare Generatoren der SU(n)

03/05/2008 - 17:32 von Alexander Streltsov | Report spam
Die Generatoren T_a der SU(n) erfüllen bekanntlich die Liealgebra

[T_a, T_b] = i*f_abc*T_c

mit total antisymmetrischen Strukturkonstanten f_abc.

Man kann zeigen, dass SU(n) durch n^2 - 1 reelle Gruppenparameter
beschrieben wird, woraus folgt dass die Anzahl der Generatoren ebenfalls
n^2 - 1 ist.
Nun soll gezeigt werden, dass maximal n-1 Generatoren miteinander
vertauschen.
Es soll also so sein, dass [T_a, T_b] = 0 für a, b < n und ungleich 0
für andere a, b. Das ist gleichbedeutend mit f_abc = 0 für a, b < n.

Wie kann man das denn zeigen? In der Standardliteratur für Physiker wird
leider nur auf einige wenige spezielle Gruppen eingegangen, also vor
allem SO(3) und SU(2).

mfg
Alex
 

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#1 Hendrik van Hees
03/05/2008 - 20:04 | Warnen spam
Alexander Streltsov wrote:

Die Generatoren T_a der SU(n) erfüllen bekanntlich die Liealgebra

[T_a, T_b] = i*f_abc*T_c

mit total antisymmetrischen Strukturkonstanten f_abc.

Man kann zeigen, dass SU(n) durch n^2 - 1 reelle Gruppenparameter
beschrieben wird, woraus folgt dass die Anzahl der Generatoren ebenfalls
n^2 - 1 ist.
Nun soll gezeigt werden, dass maximal n-1 Generatoren miteinander
vertauschen.
Es soll also so sein, dass [T_a, T_b] = 0 für a, b < n und ungleich 0
für andere a, b. Das ist gleichbedeutend mit f_abc = 0 für a, b < n.

Wie kann man das denn zeigen? In der Standardliteratur für Physiker wird
leider nur auf einige wenige spezielle Gruppen eingegangen, also vor
allem SO(3) und SU(2).



Der Physikertrick ist, daß die SU(N) die Symmetriegruppe des N-dimensionalen
vollstàndig symmetrischen harmonischen Oszillators ist und Du also
mit "Leiteroperatoren" (übersetzt man ladder operators so?) hantieren
kannst, also sozusagen im "Phononenbild" arbeiten kannst.

Da ist a_j der Vernichter eines Phonons der Mode j. Die Darstellungen der
SU(N) lassen sich dann nach den Energieeigenwerten bzw. der
Gesamtphononenzahl

n=sum_{j=1}^N a_j^+ a_j

charakterisieren. Das ist also allemal ein Casimiroperator. Dann kann man
die Phononzahl erhalten, indem man die Operatoren

a_j^+ a_k mit j,k \in {1,...,N}

anwendet, wobei aber die Linearkombination n selbst kein Generator ist.
Diese Basis der Liealgebra su(N) von SU(N) ist allerdings nicht hermitesch,
sondern es handelt sich um SU(N)-"Leiteroperatoren" (analog zu J_{+-}=J_x+i
J_y im Falle der su(2)). Es ist nun klar, daß die N Operatoren a_j^+ a_j
jeweils kommutieren, aber eben die Linearkombination n wieder trivial ist
und nicht mitzurechnen ist unter die Generatoren der SU(N). Daraus wird
klar, daß es mindestens diese N-1 untereinander kommutierenden Generatoren
gibt, die aber eben nicht mit den übrigen Generatoren vertauschen, so daß
es also tatàchlich die maximale Anzahl solcher Generatoren ist.

Hendrik van Hees Texas A&M University
Phone: +1 979/845-1411 Cyclotron Institute, MS-3366
Fax: +1 979/845-1899 College Station, TX 77843-3366
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq mailto:

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