Verteilung einer quadratischen Form für Einheitsvektoren

13/12/2009 - 17:54 von Andreas Tell | Report spam
Hallo,

ich habe ein mathematisches Problem, das ich trotz Recherche bisher
nicht lösen konnte:

Sei M die Matrix einer symmetrischen quadratischen Form im R^n mit spec
(M) \subset [0,1].
Und sei v eine Zufallsvariable gleichförmig verteilter
Einheitsvektoren im R^n.
Was ist die Verteilung von v^t M v?

Zunàchst ist M o.B.d.A diagonal. Mein Ansatz war bisher, v durch einen
Vektor unabhàngiger normalverteilter Zufallsvariablen zu ersetzen um
die Kugelsymmetrie zu erhalten. Die quadratische Form erzeugt daraus
dann eine verallgemeinerte Chi^2 Verteilung. Da ich allerdings nur an
den Einheitsvektoren interessiert bin, muss ich noch durch die Norm
von v teilen. Das Ergebnis ist also eine Ratio-Verteilung zweier Chi^2
Verteilungen, allerdings keine F-Verteilung, da die beiden Chi^2
Verteilungen nicht unabhàngig sind.

Ich benötige zunàchst nur die Klasse der resultierenden Distribution
um sie an meine Daten zu fitten. Falls aber jemand sogar die Parameter
aus den Eigenwerten von M ableiten kann, wàre ich um so glücklicher.

Kann mir jemand hier weiterhelfen oder mich auf entsprechende
Literatur verweisen? Meine Versuche, die Ratio-Verteilung selbst zu
ermitteln sind leider fehlgeschlagen.


Freundliche Grüße,

Andreas Tell
 

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#1 earthnut
13/12/2009 - 20:29 | Warnen spam
Andreas Tell wrote:

Hallo,

ich habe ein mathematisches Problem, das ich trotz Recherche bisher
nicht lösen konnte:

Sei M die Matrix einer symmetrischen quadratischen Form im R^n mit spec
(M) \subset [0,1].
Und sei v eine Zufallsvariable gleichförmig verteilter
Einheitsvektoren im R^n.
Was ist die Verteilung von v^t M v?



Wie sieht es denn für den Fall n = 2 aus? Wenn M = diag(a,b) ist, mit
0 <= a,b <= 1 und v = (cos T, sin T), dann ist
X := v^t M v = a cos^2 T + b sin^2 T. Damit X monoton steigend ist und
wegen der Symmetrie von v kann man OE a <= b und T gleichverteilt in
[0,p/2] annehmen.

Für die Dichte fX von X gilt nun mit (FX, FT Verteilung von X, resp. T)
fX(x) = d/dx FX(x) = d/dx P(X <= x) = d/dx P(T <= X^(-1)(x))
= d/dx FT(X^(-1)(x)) = fT(X^(-1)(x)) d/dx X^(-1)(x)
= 2/pi / X'(X^(-1)(x))
da die Dichte von T fT(t) = 2/pi ist.

Es sind weiter
X' = 2 (b-a) cos T sin T ,
cos^2 T = (b-X)/(b-a) , (aus X = a cos^2 T + b sin^2 T)
sin^2 T = (X-a)/(b-a) , also
X' = 2 sqrt( (b-X)(X-a) ) , und damit
fX(x) = 1/pi / sqrt( (b-x)(x-a) ) für a <= x <= b .

Die Verteilung kommt mir jetzt aber leider gar nicht bekannt vor.

Evtl. kannst du die Dichte für den Fall n = 3 nachrechnen und erkennst
das Bildungsgesetz für fX, das sich dann mit etwas Glück per Induktion
beweisen làsst.

Bastian

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