Verteilung von Längen in einem Quadrat

07/11/2007 - 23:10 von Trolldi | Report spam
Hallo,

folgendes Problem treibt mich um:

Gegeben sei ein Quadrat mit Kanntenlànge 1m. Nun werden 3
gleichverteilte Zufallszahlen generiert: A und B - jeweils aus dem
Intervall (0,1) - geben die Startposition innerhalb des Quadrats und C
- aus dem Intervall (0, 2*pi) die (Marsch)Richtung an. Mit diesen
Werten wird die Lànge vom Augangspunkt bis zum Erreichen der Umrandung
des Quadrats bestimmt. Danach beginnt das 'Spiel' von Vorne, etc.

Ich habe das Ganze mal in Matlab ausprobiert und dabei festgestellt,
dass die Làngenverteilung linear (!) im Làngenbereich 0...1 zu sinken
scheint, und anschließend nichtlinear (quadratisch? kubisch?) auf die
zu erwartende 'Null' beim Làngenwert sqrt(2) fàllt.

Meine Frage(n) an die Spezialisten:
- Làsst sich die Verteilung der Wegstrecken (ggf.
abschnittsweise) geschlossen darstellen?

allgemein: Wie geht man an eine solche Aufgabe heran?
konkret: Ist der Abfall im Intervall (0,1) wirklich


linear, und wenn ja, warum?

konkret: Welcher Verlauf liegt im Làngenbereich


(1,sqrt(2)) wirklich vor?

Vielen Dank im voraus für Eure Beitràge!

Liebe Grüße
Trolldi
 

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#1 Klaus Nagel
08/11/2007 - 06:57 | Warnen spam
Trolldi wrote:

Gegeben sei ein Quadrat mit Kanntenlànge 1m. Nun werden 3
gleichverteilte Zufallszahlen generiert: A und B - jeweils aus dem
Intervall (0,1) - geben die Startposition innerhalb des Quadrats und C
- aus dem Intervall (0, 2*pi) die (Marsch)Richtung an. Mit diesen
Werten wird die Lànge vom Augangspunkt bis zum Erreichen der Umrandung
des Quadrats bestimmt. Danach beginnt das 'Spiel' von Vorne, etc.

Ich habe das Ganze mal in Matlab ausprobiert und dabei festgestellt,
dass die Làngenverteilung linear (!) im Làngenbereich 0...1 zu sinken
scheint, und anschließend nichtlinear (quadratisch? kubisch?) auf die
zu erwartende 'Null' beim Làngenwert sqrt(2) fàllt.

Meine Frage(n) an die Spezialisten:
- Làsst sich die Verteilung der Wegstrecken (ggf.
abschnittsweise) geschlossen darstellen?
> allgemein: Wie geht man an eine solche Aufgabe heran?
> konkret: Ist der Abfall im Intervall (0,1) wirklich
linear, und wenn ja, warum?
> konkret: Welcher Verlauf liegt im Làngenbereich
(1,sqrt(2)) wirklich vor?



Für einen festen Anfangspunkt (A, B) entspricht die Wahrscheinlichkeit,
daß die Lànge kürzer ist als r, dem Teil der Flàche des Kreises um (A,
B) mit Radius r, der in das Quadrat fàllt. Die gesuchte
Gesamtwahrscheinlichkeit erhàlt man durch Integration über alle A und B.
Da die Kreise das Quadrat an 0, 1, 2, 3 oder 4 Seiten überschreiten
können, gibt es viele Fallunterscheidungen. Bei sehr kleinen Werten r
werden nur am Rand liegende Kreise beschnitten, die Wahrscheinlichkeit
wàchst dann ungefàhr quadratisch, die Dichte linear.

Gruß,
Klaus Nagel

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