Verteilungsproblem

04/05/2011 - 14:13 von Thomas Weisbach | Report spam
Ich wieder... Ich habe solche Aufgaben schon immer gehasst... Und jetzt
bringt meine Tochter die Dinger an... ;-)

Also: Eine Schulklasse (13 Kinder, keine Geschwisterkinder) will einen
Klassenausflug unternehmen. Um Kosten zu sparen, sollen 5 Vàter die
Klasse fahren. In jedem Auto ist Platz für 3 Kinder und
selbstverstàndlich fahren die jeweiligen Kinder bei ihrem Vater mit. Wie
viele Möglichkeiten gibt es, die Kinder auf die Autos aufzuteilen?

Kurz gesagt: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 8 Kinder auf 5 Autos mit
je 2 Plàtzen zu verteilen, wobei die Sitzordnung egal ist?

Unsere Überlegung:
Es gibt zwei Varianten, die restlichen 8 Kinder auf die 5 Autos zu
verteilen. Entweder ich setze immer 2 Kinder in ein Auto und eines fàhrt
eben nur mit Vater und dazugehörigem Kind (für die Aufgabe also leer),
oder ich setze jeweils 2 Kinder in 3 Autos und je 1 Kind in je ein
verbliebenes Auto. Andere Möglichkeiten für die Verteilung der Kinder
sehe ich nicht.
Schauen wir nun diese beiden Varianten etwas genauer an.

Variante 1: Ich bilde zunàchst mal alle möglichen Paare von Kindern,
wobei das Paar (1,2) gleich Paar (2,1) ist. Sehr schnell sehe ich, dass
es dann genau 28 mögliche Schülerpaare gibt:
12233445566778
132435465768
1425364758
15263748
162738
1728
18

Ich kann also für das Auto 1 aus 28 verschiedenen Schülerpaaren
auswàhlen. Dazu die Möglichkeit, das Auto 1 leer zu lassen. Auto 1 habe
ich also 29 verschiedene Belegungsmöglichkeiten.
Für das Auto 2 ist die Auswahl schon etwas eingeschrànkt. Da 2 Kinder
schon in Auto 1 sitzen, kann ich nur noch 15 mögliche Paare finden, alle
anderen Kombinationen fallen raus, weil ein Partner schon in Auto 1
sitzt. Einfach mal ein beliebiges Paar für Auto 1 aussuchen und zàhlen,
wie viele Paare noch bleiben. Dazu wieder die Variante, dass Auto 2 leer
bleibt. Für Auto 2 also 16 Möglichkeiten.
Bei Auto 3 schrànkt sich der Spielraum noch weiter ein. Jetzt habe ich
nur noch 6 mögliche Paare und die Variante, dass das Auto leer bleibt...
7 Möglichkeiten
Auto 4 habe ich entweder nur noch 2 Schüler, die da einsteigen müssen
oder ich lasse das Auto frei. 2 Möglichkeiten
Auto 5 habe ich dann keine Wahl mehr.
Damit ergeben sich 29*16*7*2 = 6496 mögliche Belegungen für die Autos in
der Variante 1.

Ich muss aber noch Variante 2 betrachen, also die Verteilung auf alle 5
Autos, selbst wenn dann 2 Schüler allein sitzen.
Analoge Vorgehensweise: Ich nehme nur "Einzelpaare" dazu... Zu den 28
schon möglichen Paaren kann ich noch 8 "Einzelpaare" bilden. Die
bezeichne ich mal mit 10 - 80...

1020304050607080
12233445566778
132435465768
1425364758
15263748
162738
1728
18

Und jetzt beginnt mein Problem. Scheinbar ergeben sich unterschiedlich
viele Möglichkeiten, je nachdem ob ich erst die einzeln sitzenden
Schüler oder Schülerpaare verteile... :-(
Jedesmal, wenn ich anfange, komme ich auf ein anderes Ergebnis...

Für 'nen Tipp wàre ich dankbar...

Mit freundlichen Grüßen!
Thomas Weisbach
 

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#1 Andreas Most
04/05/2011 - 10:18 | Warnen spam
Thomas Weisbach writes:

Ich wieder... Ich habe solche Aufgaben schon immer gehasst... Und
jetzt bringt meine Tochter die Dinger an... ;-)

Also: Eine Schulklasse (13 Kinder, keine Geschwisterkinder) will einen
Klassenausflug unternehmen. Um Kosten zu sparen, sollen 5 Vàter die
Klasse fahren. In jedem Auto ist Platz für 3 Kinder und
selbstverstàndlich fahren die jeweiligen Kinder bei ihrem Vater
mit. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kinder auf die Autos
aufzuteilen?

Kurz gesagt: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 8 Kinder auf 5 Autos mit
je 2 Plàtzen zu verteilen, wobei die Sitzordnung egal ist?

Unsere Überlegung:
Es gibt zwei Varianten, die restlichen 8 Kinder auf die 5 Autos zu
verteilen. Entweder ich setze immer 2 Kinder in ein Auto und eines
fàhrt eben nur mit Vater und dazugehörigem Kind (für die Aufgabe also
leer), oder ich setze jeweils 2 Kinder in 3 Autos und je 1 Kind in je
ein verbliebenes Auto. Andere Möglichkeiten für die Verteilung der
Kinder sehe ich nicht.
Schauen wir nun diese beiden Varianten etwas genauer an.

Variante 1: Ich bilde zunàchst mal alle möglichen Paare von Kindern,
wobei das Paar (1,2) gleich Paar (2,1) ist. Sehr schnell sehe ich,
dass es dann genau 28 mögliche Schülerpaare gibt:
12233445566778
132435465768
1425364758
15263748
162738
1728
18

Ich kann also für das Auto 1 aus 28 verschiedenen Schülerpaaren
auswàhlen. Dazu die Möglichkeit, das Auto 1 leer zu lassen. Auto 1
habe ich also 29 verschiedene Belegungsmöglichkeiten.
Für das Auto 2 ist die Auswahl schon etwas eingeschrànkt. Da 2 Kinder
schon in Auto 1 sitzen, kann ich nur noch 15 mögliche Paare finden,
alle anderen Kombinationen fallen raus, weil ein Partner schon in Auto
1 sitzt. Einfach mal ein beliebiges Paar für Auto 1 aussuchen und
zàhlen, wie viele Paare noch bleiben. Dazu wieder die Variante, dass
Auto 2 leer bleibt. Für Auto 2 also 16 Möglichkeiten.
Bei Auto 3 schrànkt sich der Spielraum noch weiter ein. Jetzt habe ich
nur noch 6 mögliche Paare und die Variante, dass das Auto leer
bleibt... 7 Möglichkeiten
Auto 4 habe ich entweder nur noch 2 Schüler, die da einsteigen müssen
oder ich lasse das Auto frei. 2 Möglichkeiten
Auto 5 habe ich dann keine Wahl mehr.
Damit ergeben sich 29*16*7*2 = 6496 mögliche Belegungen für die Autos
in der Variante 1.



Hier übersiehst Du die Möglichkeiten, auch jeweils nur ein Kind in die
Autos zu setzen. Die Rechnung mit diesem Ansatz würde sicherlich recht
umstàndlich werden.

Ich muss aber noch Variante 2 betrachen, also die Verteilung auf alle
5 Autos, selbst wenn dann 2 Schüler allein sitzen.
Analoge Vorgehensweise: Ich nehme nur "Einzelpaare" dazu... Zu den 28
schon möglichen Paaren kann ich noch 8 "Einzelpaare" bilden. Die
bezeichne ich mal mit 10 - 80...

1020304050607080
12233445566778
132435465768
1425364758
15263748
162738
1728
18



...und 00, denn das erste Auto kann auch leer bleiben.


Und jetzt beginnt mein Problem. Scheinbar ergeben sich unterschiedlich
viele Möglichkeiten, je nachdem ob ich erst die einzeln sitzenden
Schüler oder Schülerpaare verteile... :-(
Jedesmal, wenn ich anfange, komme ich auf ein anderes Ergebnis...



Leider verràtst Du nicht das Ergebnis Deiner Rechnung. Ich vermute, die
Rechnung wird auch hier etwas unübersichtlich, weil Du in jedem Schritt
berücksichtigen musst, wieviele Autos Du mit nur einem weiteren Kind oder
keinem weiteren Kind belegen darfst.

Hier ist meine Variante: Es gibt 5 über 2 = 10 Möglichkeiten, in 3 Autos
je 2 weitere und in 2 Autos je 1 weiteres Kind zu setzen, und 5
Möglichkeiten, bei denen in ein Auto kein weiteres Kind gesetzt wird.
Die acht Kinder haben 8! = 40320 Möglichkeiten, sich auf die
verbleibenden 8 Plàtze zu verteilen. Da die Sitzordnung egal
ist, muss dass für die genannten 5 Fàlle durch 2^4 = 16 und für die
übrigen 10 Fàlle durch 2^3 = 8 geteilt werden. Macht nach Adam Riese

10 * 8! / 8 + 5 * 8! / 16 = 50400 + 12600 = 63000

(Alle Angaben ohne "Gewehr")

Andreas.

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