Vielfache irrationaler Zahlen fast ganzzahlig

08/10/2010 - 19:48 von Stephan Gerlach | Report spam
Da hier in letzter Zeit ab und zu das Fehlen "schöner" Aufgaben (anstatt
endloser WM-Fàden) bemàngelt wird: Hier hàtte ich eine; wenngleich die
Lösung vermutlich auch i.a. (und nicht nur in den unten genannten beiden
Spezialfàllen) trivial ist.

Nimmt man sich z.B. die Zahl PI her, so gilt z.B.

7 * PI = 21.9911486...
106 * PI = 333.0088213...
113 * PI = 354.9999699...

Daraus erwàchst die Frage, ob es zu jeder (oBdA positiven) reellen Zahl
x und jedem vorgegebenen eps>0 natürliche Zahlen n und m gibt, so daß
|n*x-m| < eps
gilt.
Also anschaulich: Kann man x durch Bildung von Vielfachen n*x "beliebig
nahe an natürliche Zahlen ranbringen"?

Für rationale x ist die Aussage offensichtlich trivial:
Sei x rational, dann ist x = p/q mit natürlichen p und q, es gilt
q*x = q*(p/q) = p,
was ganzzahlig ist und somit einfach n=q und m=p gewàhlt werden kann.
Für normale Zahlen <http://de.wikipedia.org/wiki/Normale_Zahl> ist die
Aussage ebenfalls trivial, wie man leicht sieht.

Für beliebige x bin ich mir nicht sicher, aber vermute, daß die Aussage
gilt. Vermutlich ist das sogar irgendein bekannter Satz.

BTW:
Ein Beweis(versuch), der anscheinend *nicht* funktioniert:
"Die reelle Zahl x làßt sich beliebig genau durch eine rationale Zahl
r/s mit ganzzahligen r und s annàhern, d.h. es gilt
|x-r/s| < eps
Multipliziert man mit s, erhàlt man
|s*x-r| < s*eps ... "
Auf der linken Seite der Ungleichung steht zwar ein Ausdruck der
gewünschten Form |n*x-m|, aber auf der rechten Seite leider s*eps statt eps.



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Ralf Bader
08/10/2010 - 20:06 | Warnen spam
Stephan Gerlach wrote:

Da hier in letzter Zeit ab und zu das Fehlen "schöner" Aufgaben (anstatt
endloser WM-Fàden) bemàngelt wird: Hier hàtte ich eine; wenngleich die
Lösung vermutlich auch i.a. (und nicht nur in den unten genannten beiden
Spezialfàllen) trivial ist.

Nimmt man sich z.B. die Zahl PI her, so gilt z.B.

7 * PI = 21.9911486...
106 * PI = 333.0088213...
113 * PI = 354.9999699...

Daraus erwàchst die Frage, ob es zu jeder (oBdA positiven) reellen Zahl
x und jedem vorgegebenen eps>0 natürliche Zahlen n und m gibt, so daß
|n*x-m| < eps
gilt.
Also anschaulich: Kann man x durch Bildung von Vielfachen n*x "beliebig
nahe an natürliche Zahlen ranbringen"?



http://de.wikipedia.org/wiki/Dirich...ationssatz

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