Vierdimensionaler Winkel

22/04/2010 - 21:57 von Michael Steyer | Report spam
Als unheilbarer Hobby-Mathematiker habe ich ein Thema wieder aufgegriffen,
dass auch in de.sci.mathematik mal kurz diskutiert wurde ("Raumwinkel im
4D", November 2000). Es geht darum, àhnlich dem Raumwinkel im 3D ein Maß für
die gekrümmte Flàche (3-dimensional) auf einer Hyperkugel (4-dim.) zu
finden, die von 4 Punkten auf ihrer Oberflàche (3-dim.) eingeschlossen wird.

Ich habe inzwischen folgendes gelernt:
- es gibt keine analytische Funktion, die die Flàche im allgemeinen Fall
angibt. Das beste was es gibt, ist die Schlàfli-Funktion, die aus einer
unendlichen Summe besteht (siehe das wunderbare Buch "Regular Polytopes" von
Coxeter - gibt fast komplett bei books.google und für ein paar Euro im
Internetbuchhandel).
- es gibt eine ebenfalls wunderbare Formel nach Gauss-Bonnet, die die Summe
der Innenwinkel eines Polytopes im n-dimensionalen Raum als Summe aus den
Winkeln zwischen den Kanten, Flàchen ... (n-1)-dim. Hyperflàchen dieses
Körpers ausdrückt. Da wir Winkel im 3D einfach ausrechnen können, ist damit
z.B. die Summe der Innenwinkel eines Polytopes im 4D berechenbar. Sind
Symmetrien bekannt (im einfachsten Fall sind alle 4D-Winkel gleich), kann
eventuell daraus der einzelne 4D-Winkel berechnet werden.

Diesen Satz möchte ich dazu verwenden, 4-dimensionale Winkel für
symmetrische Spezialfàlle konkret auszurechnen. Symmetrisch heißt für mich,
dass die o.g. 4 Punkte einen regelmàßigen Tetraeder einschließen. Für den
Fall liegt mir auch eine einfache Integralformel vor, mit der man
analytische Ergebnisse überprüfen kann.

Mit dem Satz von Gauss-Bonnet, der formal und inhaltlich eng mit dem
Eulerschen Polyedersatz zusammenhàngt, kann man z.B. auf einfache Weise
(wenn man die veröffentlichen Ausdrücke für den Satz mal "ins Deutsche"
übersetzt hat) den Innenwinkel an einem Punkt eines 4-Simplex berechnen. Ein
anderer einfacher Fall ist der Winkel, der im 600-Zell von einer Zelle
ausgefüllt wird, nàmlich natürlich 2*pi*pi/600. Ich suche also nach Fàllen,
bei denen sowohl der 2D-Winkel zwischen 2 Punkten (bzw. der "dihedral angle"
zwischen 2 Hyperflàchen) als auch der 4D-Raumwinkel analytisch ausgedrückt
werden können.

Nachdem ich die regulàren Polytope (5, 8, 16, 24, 120 und 600-Zell) durch
bin, habe ich mir die "uniform polychora" vorgenommen, also sozusagen die
Archimedischen Körper im 4D und gedacht, dass die Symmetrien dort für mein
Problem nutzbar sind, z.B. das "Rectified 8-cell", also den Hypercube, der
an allen Ecken bis zu den Kantenmitten abgeschnitten ist
(http://en.wikipedia.org/wiki/Rectified_8-cell). Dieses Teil besteht aus 8
Cuboktaedern und 16 Tetraedern, und ich suche den Winkel am Mittelpunkt zu
den 4 Punkten eines Tetraeders. Es fehlt jedoch eine zweite
Bestimmungsgleichung hierfür, nach der ich inzwischen monatelang
letztendlich erfolglos herumsuche. Am Cuboktaeder im 3D sind schöne
Symmetrien erkennbar, und man erhàlt die zweite Gleichung in diesem Fall aus
einem Winkel zwischen 2 Flàchen. So àhnlich sollte das doch auch im 4D
funktionieren !?

Hat jemand Interesse an diesem Thema, oder weiß gar etwas darüber ?
Herzlichen Dank schonmal.

Michael Steyer
 

Lesen sie die antworten

#1 Anonimo
26/04/2010 - 18:05 | Warnen spam
ich stand mal vor folgendem problem:

ich habe eine software geschrieben, die einen 4-d-würfel simuliert.
um die beleuchtungsverhàltnisse einer flàche zu bestimmen,
multipliziert man im 3D den normalvektor der flàche mit dem
beluchtungsvektor und findet so den beleuchtungswinkel und damit die
helligkeit.

aber im 4D gibt es auf einmal mehr als einen normalvektor! ich hab
leider keine methode gefunden, um den winkel zwischen dem
beleuchtungsvektor und der 4D-flàche zu finden.

jens martin schlatter

Ähnliche fragen