Volumen der Einheitskugel

24/11/2008 - 20:09 von A.Stifel | Report spam
Entsprechend http://de.wikipedia.org/wiki/Sph%C3%A4re_ ist das Volumen
der n-dimensionalen Einheitskugel eine Funktion von n, die bei circa n
= 5 ihr Maximum hat und dann mit n -> Unendlich gegen Null geht. Die
genaue Grössenordnung làsst sich wohl mit der Stirlingschen Formel
berechnen.
Aber was hat das anschaulich zu bedeuten? Die Einheitskugel berührt
doch den Einheitswürfel (mit immer konstantem Volumen 1) an allen
seinen Seiten. Offensichtlich geht bei der Einbettung einer n-Kugel in
einen n-Würfel etwas verloren an der Aussenseite beim Übergang von n
zu n+1. Aber soviel, dass am Ende nichts mehr übrigbleibt? Ich hàtte
eher auf 1/2 oder so etwas als Grenzwert getippt.
Hat jemand eine überzeugende anschauliche Erklàrung?
Gibt es Beispiele aus der Funktionalanalysis?
Gruss, Adam
 

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#1 Ralf Kusmierz
24/11/2008 - 20:32 | Warnen spam
X-No-Archive: Yes

begin quoting, "A.Stifel" schrieb:

Entsprechend http://de.wikipedia.org/wiki/Sph%C3%A4re_ ist das Volumen
der n-dimensionalen Einheitskugel eine Funktion von n, die bei circa n
= 5 ihr Maximum hat und dann mit n -> Unendlich gegen Null geht. Die
genaue Grössenordnung làsst sich wohl mit der Stirlingschen Formel
berechnen.
Aber was hat das anschaulich zu bedeuten? Die Einheitskugel berührt
doch den Einheitswürfel (mit immer konstantem Volumen 1) an allen
seinen Seiten. Offensichtlich geht bei der Einbettung einer n-Kugel in
einen n-Würfel etwas verloren an der Aussenseite beim Übergang von n
zu n+1. Aber soviel, dass am Ende nichts mehr übrigbleibt? Ich hàtte
eher auf 1/2 oder so etwas als Grenzwert getippt.
Hat jemand eine überzeugende anschauliche Erklàrung?



Die Einheitskugel hat den Durchmesser 1 und ist in einen
Einheitswürfel mit der Kantenlànge 1 eingebettet. Die Lànge der der
n-Raum-Diagonale des Einheitswürfels ist SQRT(n). Zwischen dem Radius
und der Würfelecke verbleibt daher noch ein Diagonalenstück der Lànge
[SQRT(n)-1]/2, und das wàchst bei konstantem Kugelradius mit der
Dimension n über alle Grenzen, maW schrumpft das Kugelvolumen mit
n->oo gegen Null.


Gruß aus Bremen
Ralf
R60: Substantive werden groß geschrieben. Grammatische Schreibweisen:
adressiert Appell asynchron Atmosphàre Autor bißchen Ellipse Emission
gesamt hàltst Immission interessiert korreliert korrigiert Laie
nàmlich offiziell parallel reell Satellit Standard Stegreif voraus

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