Volumenberechnung eines Tetraeders mit Cavalieri-Prinzip

23/08/2007 - 13:05 von AC | Report spam
Hallo Newsgroup,

Wie kann man das Volumen eines Tetraeders mittels Cavalieri berechnen?
Was ist die Grundüberlegung? Cavalieri besagt ja, dass Körper
ungleicher Form aber gleicher Höhe das gleiche Volumen besitzen, gdw.
die Schnittflàchen in beliebig gleicher Höhe den gleichen
Flàcheninhalt haben. Wie kann man das nun auf die Volumenberechnung
übertragen?
Im Vorraus schon mal danke, würde mich auf Antworten freuen.

ciao AC
 

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#1 kilian heckrodt
24/08/2007 - 18:16 | Warnen spam
AC wrote:
Hallo Newsgroup,

Wie kann man das Volumen eines Tetraeders mittels Cavalieri berechnen?
Was ist die Grundüberlegung? Cavalieri besagt ja, dass Körper
ungleicher Form aber gleicher Höhe das gleiche Volumen besitzen, gdw.
die Schnittflàchen in beliebig gleicher Höhe den gleichen
Flàcheninhalt haben. Wie kann man das nun auf die Volumenberechnung
übertragen?
Im Vorraus schon mal danke, würde mich auf Antworten freuen.

ciao AC




Das liegt im wesentlichen am Strahlensatz, alle Koerper die eine gleiche
Grundflaeche besitzen und dann von dieser auf einen Punkt in gleicher
Hoehe zulaufen, haben aufgrund des Strahlensatz gleichgrosse
Schnittflaechen auf derselben Hoehe.

Konkret heisst das in deinen Fall, waehle irgendeine Pyramide oder einen
Kegel deren Volumen du schon berechnen kannst.
Dann waehle fuer diese schon bekannte Pyramide die Grundflaeche so, dass
sie denselben Betrag hat wie eine der Tetraederoberflaechen, und die
Hoehe so. dass sie den gleichen Betrag wie die Tetraederhoehe hat.

Fuer die bekannte Pyramide betraegt das Volumen dann 1/3*G
*h, mit dem Strahlensatz kannst du nun zeigen, dass die Schnittflaechen
gleich gross sind, damit ergibt sich nach cavalieri auch 1/3*G*h als
Tetraedervolumen.

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