Von Rekursion zu expliziter Darstellung über DGL

03/08/2015 - 13:51 von Udo | Report spam
Hallo,

für eine Folge sei das Bildungsgesetz rekursiv (implizit) gegeben:
a_n+1 = f(a_n)
Gesucht ist die explizite Darstellung des Bildungsgesetzes:
a_n = f(n)

Meine Frage ist, ob man hierzu eine Differentialgleichung aufstellen kann bzw.
warum das nicht immer funktioniert bzw. wo mein Denkfehler liegt.

Beispiel:
(a_n+1) = (a_n) + n liefert die mit Startwert a_1 = 1 die Zahlenfolge:

a_1 =1
a_2 =2
a_3 =4
a_4 =7
...
a_n = a_n-1 + (n-1)

Jetzt gehe ich ganz "formal" vor und schreibe um:
(a_n) - (a_n-1) = n-1

d.h. die "Änderung von a" über dieses Intervall ist gleich (n-1).

Da man bei DGL ja von den Änderungen über ein Intervall ausgeht - meine Frage:
wenn ich zu "differentieller" Schreibweise übergehe, kann ich dann argumentieren,dass am Anfang des Intervalls 0 abgezogen wird, am Ende 1 abgezogen wird - im Mittel also 0.5?

Unter diesem Blickwinkel schreibe ich differentiell:

da/dn = (n-0.5) => Separation der Variablen ...
da = (n-0.5)*dn

und integriert:
a = (0.5*n^2) - (0.5*n) + C

mit Anfangsbedingung: a_1 = 1 und n=1 ergibt sich C=1

Also lautet das Bildungsgesetz für die
rekursive Darstellung: a_n+1 = a_n + n
a_n = 0.5*n^2 - 0.5*n + 1 = n/2*(n-1) + 1

a_n = n/2*(n-1) + 1

Die Formel ist korrekt - aber ist es auch die Vorgehensweise?

Wenn ich andere Folgen (geometrische ...) betrachte, stimmt das Ergebnis nicht mehr, aber ich liege mit der Vorgehensweise, eine DGL aufzustellen
immer "sehr nahe" an der richtigen Lösung, so dass ich vermute, dass ich irgendetwas übersehe bzw. falsch verstehe.

Wo liegen die Denkfehler bei der Vorgehensweise?

Danke und viele Grüße
Udo
 

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#1 ram
03/08/2015 - 14:42 | Warnen spam
Udo writes:
Wo liegen die Denkfehler bei der Vorgehensweise?



Das Thema der geschlossenen Darstellung von
Rekursionsrelationen wird wohl auch intensiv in »Concrete
Mathematics«, Graham et al., 1988 diskutiert. Wenn Du dort
einfach vorne anfàngst zu lesen, solltest Du schon in der
ersten Stunde darauf stoßen.

(Im Endlichen spricht man wohl eher von »Differenzengleichungen«.)

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