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Wackelgitter

05/01/2008 - 14:06 von Michael Klemm | Report spam
Hallo!

Möchte jemand einen Kommentar zu dem folgenden Text abgeben?
Insbesondere geht es um die Frage, ob es sich lohnt, die Sache
genauer aufzuschreiben oder ob die Literaturlektüre vorzuziehen ist.

Im n-dimensionalen reellen Hilbertraum V mit den
Basen {g_1,...,g_n} und {e_1,...,e_n} ist das
Gitter G = <g_1,...,g_n>_Z
für ein geeignetes r > 0 mit
dem Gitter H = <re_1, e_2,...,e_n>_Z
wackelàquivalent,
http://www.mathematik.uni-bielefeld...095.ps.gz,
wobei aus der Wackelàquivalenz zweier Gitter in V
die Gleichheit ihrer Diskriminanten folgt.

Die lineare Abbildung L \in GL(V) mit

g_iL = r_ie_i, r_1 = r, r_2 = ... = r_n = 1

(beziehungsweise ihre Matrix) làßt sich mit Hilfe von Transvektionen
(Additionen des Vielfachen einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile
oder Spalte)
elementar auf Diagonalgestalt umformen.
Entsprechend setzt sich die vorgeschlagene Wackelbijektion
zwischen G und H aus Wackelbijektionen für die Einzelschritte zusammen.

Im ersten Schritt wird angenommen, dass die Transvektion T die von
\gamma = <g_1,...,g_{n-1}>_Z erzeugte Hyperebene
auf die Hyperebene \sigma = <e_1,...,e_{n-1}>_R
abbildet und dass
g_iT - g_i \in Rg_n (i = 1,...,n-1) und g_nT = g_n
mit g_n ot\in \sigma gilt. Man hat dann die folgende
Situation, vgl.
http://nagel-klaus.homepage.t-onlin...gitter.pdf :

V ist in zu \sigma parallele Schichten
\Sigma_m = \bigcup_{-\frac12 \le \eps < \frac12} \{\sigma + (m+\eps)g_n\}
mit den Mittelflàchen \sigma_m = \sigma + mg_n, m \in Z,
eingeteilt. Weiter überdecken die parallelen Geraden
\lambda_g = g + Rg_n mit g \in \gamma,
die G-Linien, das Gitter G. Es sei \hat G das Gitter
der Schnittpunkte von G-Linien und Mittelflàchen.

Dann sind G und \hat G = \{gT | g \in G\} wackelàquivalent.

Wàhrend die Ebene \sigma bezüglich G eine beliebige Lage hat,
ist sie in \hat G eine Gitterebene, d.h. es gibt in \sigma eine
aus Gitterpunkten bestehende Basis. Dadurch wird die Induktion
nach n möglich.

Gruß
Michael
 

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#1 Wolfgang Thumser
05/01/2008 - 19:40 | Warnen spam
Hallo Michael,

Möchte jemand einen Kommentar zu dem folgenden Text abgeben?
Insbesondere geht es um die Frage, ob es sich lohnt, die Sache
genauer aufzuschreiben oder ob die Literaturlektüre vorzuziehen ist.



Bevor Du Dich dazu entschliesst, solltest Du vielleicht eine Abschaetzung
fuer die resultierende Wackeldistanz geben. Klaus Nagels Distanzen sind
fuer den ebenen Gitterfall unschlagbar (leider bin ich mit der Durchsicht
seiner Arbeit immer noch nicht ganz fertig aufgrund anderer Verpflichtungen).

Ich kann auch gerne nochmal nachsehen, ob in der erwaehnten Arbeit bereits
dazu etwas gesagt ist (ist schon zu lange her).

Gruss Wolfgang

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