Wahrscheinlichkeit umwandeln

20/06/2008 - 16:59 von goujou | Report spam
Hallo!

Sei(W,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X,Y reelle Zufallsvariablen auf
diesem Raum und X, X-Y seien unabhàngig. K sei eine (Borel-) messbare
Teilmenge der rellen Zahlen. Dann gilt:

P(X \in K) = \int_R{P(Y+z \in K) P(X-Y \in dz)}

Bei nàherer Betrachtung merkt man, dass mit dem Integral etwas nicht
stimmt, ist wohl ein Druckfehler. Der erste Faktor unter dem Integral
ist definitiv richtig. Nun frage ich mich schon tagelang, wie der zweite
Faktor aussehen muss, damit die Gleichung auch stimmt.

Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Holger
 

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#1 earthnut
20/06/2008 - 19:18 | Warnen spam
goujou wrote:

Hallo!

Sei(W,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X,Y reelle Zufallsvariablen auf
diesem Raum und X, X-Y seien unabhàngig. K sei eine (Borel-) messbare
Teilmenge der rellen Zahlen. Dann gilt:

P(X \in K) = \int_R{P(Y+z \in K) P(X-Y \in dz)}

Bei nàherer Betrachtung merkt man, dass mit dem Integral etwas nicht
stimmt, ist wohl ein Druckfehler. Der erste Faktor unter dem Integral
ist definitiv richtig. Nun frage ich mich schon tagelang, wie der zweite
Faktor aussehen muss, damit die Gleichung auch stimmt.

Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Holger



Was soll denn daran nich stimmen? Gemeint ist damit, man integriert
P(Y+z \in K) nach dem Bildmaß von X-Y (bzgl. z). Wenn X-Y stetige ZV ist
mit Dichte f_{X-Y}, dann könnte man das Ganze auch schreiben als
P(X \in K) = \int_R{P(Y+z \in K) f_{X-Y}(z) dz}
Andere typische Schreibweisen für das Integral wàren
P(X \in K) = \int_R{P(Y+z \in K) P^{X-Y}(dz)},
P(X \in K) = \int_R{P(Y+z \in K) dP^{X-Y}(z)}, oder
P(X \in K) = \int_R{P(Y+\cdot \in K) dP^{X-Y}}
Ich schreib manchmal auch eifach
P(X \in K) = \int_{z \in R}{P(Y+z \in K) P(X-Y=z)}
obwohl das formal nicht ganz korrekt ist.

Ob die Gleichung wirklich wahr ist habe ich jetzt nicht geprüft, aber
ich sehe keinen offensichtlichen Fehler darin.

Bastian

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