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Wahrscheinlichkeitenabschaetzung: Statistische Differenz

16/08/2008 - 21:05 von Bernd Schneider | Report spam
Hi,

ich versuche derzeit ein Lemma zu verstehen; leider gibt es da einige
Abschàtzungen, die mir so ganz und gar nicht einleuchten und ich dachte
vielleicht kann mir ja hier jemand weiterhelfen.
Seien X0, X1 zwei Zufallsvariablen definiert ueber A. Die statistische
Difference Diff(X0;X1) ist definiert wie folgt:
Diff(X0;X1) := 1/2\sum_{x \in A}|Pr[X0=x]-Pr[X1=x]|.

Nun, sei f eine beliebige Funktion mit Bildmenge K. Seien nun die folgenden
Zufallsvariablen gegeben:
- K0 und K1 definiert ueber K, wobei K1 gleichverteilt ueber K ist.
- Zwei beliebige Zufallsvariable R und S die conditional independent sind
(conditioned on K0)
Warum gilt nun:
Diff(f(K0,R),K0; K1,K0) <= Diff(f(K0,R),K0,S; K1,K0,S)
Wenn es nicht gilt, was fuer Annahmen muss ich ueber die ZV machen, damit
es gilt?

Das "," steht hier für die joint distribution, d.h. X,Y ==> Pr[X=x AND
Y=y].

Viele Gruesse und danke,
Bernd
 

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#1 karl
18/08/2008 - 06:33 | Warnen spam
Bernd Schneider schrieb:
Hi,

ich versuche derzeit ein Lemma zu verstehen; leider gibt es da einige
Abschàtzungen, die mir so ganz und gar nicht einleuchten und ich dachte
vielleicht kann mir ja hier jemand weiterhelfen.
Seien X0, X1 zwei Zufallsvariablen definiert ueber A. Die statistische
Difference Diff(X0;X1) ist definiert wie folgt:
Diff(X0;X1) := 1/2\sum_{x \in A}|Pr[X0=x]-Pr[X1=x]|.

Nun, sei f eine beliebige Funktion mit Bildmenge K. Seien nun die folgenden
Zufallsvariablen gegeben:
- K0 und K1 definiert ueber K, wobei K1 gleichverteilt ueber K ist.
- Zwei beliebige Zufallsvariable R und S die conditional independent sind
(conditioned on K0)
Warum gilt nun:
Diff(f(K0,R),K0; K1,K0) <= Diff(f(K0,R),K0,S; K1,K0,S)
Wenn es nicht gilt, was fuer Annahmen muss ich ueber die ZV machen, damit
es gilt?




Betrachte in der stat. Differennz einen Summanden und die einfachste
Form einer ZV S, eine die nur zwei verschiedene Werte annimmt.
Dann zerfàllt der eine Summand in zwei Summanden, wenn man S
hinzunimmt. Man hat, daß die Werte in den Absolutbetràgen dieser zwei
neuen Summanden gleich
dem Wert im Absolutbetrag des ursprüunglichen sind. Dann wendet man
die Dreieksungleichung an |x+y| <= |x| + |y| und hat die Ungleichung.

P.s. Bitte entscheide Dich, ob Du Deutsch oder Englisch schreiben
willst. Das Denglisch ist hart.

Ciao

Karl

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