Wahrscheinlichkeitsdichte eines Produkts 2-er gleichverteilten Zufallsvariablen

13/05/2008 - 22:48 von Schüle Daniel | Report spam
Hallo Leute,

ich habe 2 gleichverteilte Zufallsvariablen
bei ihrer Summe ist das Erebnis dreickverteilt
(zB über Faltung berechenbar)
Wie sieht es aber mit ihrem Produkt aus?
Gibt es eine generelle Vorgehensweise die Wahrscheinlichkeitsdichte
von einer oder mehreren Zufallsvariablen abzuleiten, die
durch eine Funktion f(...) verknüpft sind.

Für Links, Ideen wàre ich euch sehr dankbar.

Grüsse, Daniel
 

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#1 Jan Fricke
14/05/2008 - 09:43 | Warnen spam
Schüle Daniel wrote:
Hallo Leute,

ich habe 2 gleichverteilte Zufallsvariablen
bei ihrer Summe ist das Erebnis dreickverteilt
(zB über Faltung berechenbar)
Wie sieht es aber mit ihrem Produkt aus?


Das Produkt kann man (falls beide Zufallsvariablen positiv sind) über
den Logarithmus auf die Summe zweier Zufallsgrößen zurückführen.

Gibt es eine generelle Vorgehensweise die Wahrscheinlichkeitsdichte
von einer oder mehreren Zufallsvariablen abzuleiten, die
durch eine Funktion f(...) verknüpft sind.


Im allgemeinen Fall wird einem nichts anderes übrig bleiben, als auf die
Definition der Verteilungsfunktion zurück zu greifen:

F(t) = P[f(x_1,...,x_n) < t]

Um mal das Produkt-Beispiel zu nehmen: Seien die beiden Faktoren
gleichverteilt in [0,1], dann bekommt man für 0<t<1:

F(t) = P[x * y < t] = P[y < t/x]
= int(x=0..1, min(1, t/x))
= t + int(x=t..1, t/x)
= t - t ln(t).

Daraus erhàlt man durch Ableiten die Dichtefunktion -ln(t).


Viele Grüße Jan

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