Wahrscheinlichkeitsfunktion

27/09/2007 - 16:15 von Tobias Johann | Report spam
Hallo Gruppe,

ich habe zwei Wahrscheinlichkeiten gegeben,

Pr[F] = 2 - 2*(n1 * ... * nt) - 2*((1-n1) * ... (1-nt))
Pr[E] = 2*(n1 * ... * nt) - 2*(n1 * ... * nt)^2

(das làsst sich mit dem Produktzeichen viel übersichtlicher schreiben...)

wobei die ni (für 1 <= i <= t, t>=2) ebenfalls von einander unabhàngige
Wahrscheinlichkeiten sind, also Elemente aus [0,1].

Ich möchte nun die Vermutung dass für alle möglichen ni aus [0,1] gilt
dass

Pr[F] >= Pr[E]

beweisen. Man kann das für t=2 leicht zeigen, Experimente bestàtigen dass
die Vermutung auch für t>2 gilt.

Dazu habe ich zwei Ansàtze versucht, komme jedoch bei beiden nicht
weiter. Der Erste Ansatz ist:

Zeige dass Pr[F] - Pr[E] >= 0, also dass die Funktion

f(n1, ..., nt)
= 2 - 4*(n1 * ... * nt) - 2*((1-n1) * ... (1-nt)) + 2*(n1 * ... * nt)^2

für ni in [0,1], 1 <= i <0 t, niemals kleiner als Null wird.
Der Einfachheit halber kann man übrigens genauso gut die Funktion

f(n1, ..., nt)/2 = f'(n1, ..., nt)
= 1 - 2*(n1 * ... * nt) - ((1-n1) * ... (1-nt)) + (n1 * ... * nt)^2

betrachten. Aber dann komme ich nicht weiter...!

Mein zweiter Ansatz ist zu zeigen dass

1 >= Pr[E]/Pr[F] oder 1 <= Pr[F]/Pr[E]

ist, auch das führt (bislang) nicht zum Erfolg...

Hat jemand eine Idee wie man dieses Problem auf clevere Art angehen kann?

Danke & Gruss
 

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#1 papahuhn
27/09/2007 - 18:54 | Warnen spam
Tobias Johann schrieb:
Hallo Gruppe,

ich habe zwei Wahrscheinlichkeiten gegeben,

Pr[F] = 2 - 2*(n1 * ... * nt) - 2*((1-n1) * ... (1-nt))
Pr[E] = 2*(n1 * ... * nt) - 2*(n1 * ... * nt)^2

(das làsst sich mit dem Produktzeichen viel übersichtlicher schreiben...)

wobei die ni (für 1 <= i <= t, t>=2) ebenfalls von einander unabhàngige
Wahrscheinlichkeiten sind, also Elemente aus [0,1].

Ich möchte nun die Vermutung dass für alle möglichen ni aus [0,1] gilt
dass

Pr[F] >= Pr[E]

beweisen. Man kann das für t=2 leicht zeigen, Experimente bestàtigen dass
die Vermutung auch für t>2 gilt.



Dein Problem ist àquivalent zu
Pi[i=1..t](1-n_i) <= (1 - Pi[i=1..t](n_i))^²

Ich würde sagen, es gilt sogar
Pi[i=1..t](1-n_i) <= (1 - Pi[i=1..t](n_i))^t

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