Wahrscheinlichkeitsproblem: U-Boot und Schiff

06/11/2009 - 18:17 von Samuel Gyger | Report spam
Hallo, in unserem Mathematik Unterricht sind wir über folgendes Beispiel
gekommen. Die Berechnung des Beispiels hat einige Probleme hervorgerufen,
die vom Lehrer angebotene Lösung überzeugt mich nicht und auch ein
statistischer Nachbau ergibt ein anderes Ergebnis.
Folgendes Beispiel:

Ein U-Boot greift einen Flugzeugtràger mit 8 Torpedos an. Diese treffen
den Flugzeugtràger unabhàngig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit
von 0.6. Jedes treffende Projektil, trifft auf gut Glück eine von 8
Kammern die durch Schotten getrennt sind. Sind 3 unterschiedliche Kammern
getroffen sinkt der Flugzeugtràger. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
versenkt das U-Boot den Flugzeugtràger.

Nun folgende Lösungsidee:

Erstes Ereignis:
X ... Einschlagen eines Torpedos im Flugzeugtràger (binomial verteilt)
X = 0,1,..., 8
P(X>=3) = 1 - P( X<= 2)
Daraus ergibt sich:
3
= \ / 8 \ k 8 - k
P(X >=3) = 1 - > | | 0.6 (1 - 0.6)
/ \ k /
= k = 0
P(X >=3) = 95%

Nun das zweite damit verknüpfte Ereignis, das eigentliche Problem. Ein
Torpedo trifft sicher eine leere Kammer.
Y ... Torpedos die weitere Kammern treffen.
Y = 0,1, .. , 7

Nun trafen wir die Annahme das auch dieses Ereignis binomial verteilt ist.
P(Y >= 2) = 1 - P( Y <= 1) -> Anforderung zum versenken des
Flugzeugtràger.

Wahrscheinlichkeit für eine Kammer p = 1/8.

1
== k 7 - k
\ / 7 \ /1\ / 1\
P(X >= 2) = 1 - > | | |-| |1 - -|
/ \ k / \8/ \ 8/
= k = 0
P(X >= 2) = 21.46%

Nun kann mit der Bayes Formel weiter argumentiert werden.

P(Y >= 2 | X >=3) = P(X >=3 | Y >= 2) * P(Y >= 2) / P( X >= 3)

-.- = P(Y >= 2) / P( x >= 3)

Daraus ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit für das Versinken des Schiffs
von
22.59%

Mir ist die ganze Argumentation vorallem für das zweite Ereignis nicht
ganz geheuer. Deshalb versuchte ich das Problem
mittels eines Programms statistisch nachzubilden und kam dabei auf ein
Ergebnis von 87%.
Das Programm findet man hier: http://pastebin.com/f78877fa4 (C Code).
Verwendet wurde dabei die Random (Gleichmàssige Verteilung)
Funktion von C verwendet.

Ist vll. ein Fehler in der Argumentation vorhanden?

Samuel Gyger
 

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#1 Brian M. Scott
07/11/2009 - 00:28 | Warnen spam
On Fri, 6 Nov 2009 17:17:58 +0000 (UTC), Samuel Gyger
wrote in
<news:hd1lo3$ted$ in
de.sci.mathematik:

Hallo, in unserem Mathematik Unterricht sind wir über
folgendes Beispiel gekommen. Die Berechnung des
Beispiels hat einige Probleme hervorgerufen, die vom
Lehrer angebotene Lösung überzeugt mich nicht und auch
ein statistischer Nachbau ergibt ein anderes Ergebnis.



Zu Recht: jene Lösung ist falsch.

Folgendes Beispiel:

Ein U-Boot greift einen Flugzeugtràger mit 8 Torpedos an.
Diese treffen den Flugzeugtràger unabhàngig voneinander
mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.6. Jedes treffende
Projektil, trifft auf gut Glück eine von 8 Kammern die
durch Schotten getrennt sind. Sind 3 unterschiedliche
Kammern getroffen sinkt der Flugzeugtràger. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit versenkt das U-Boot den
Flugzeugtràger.



Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Torpedo den Flugzeugtràger
trifft: (2/5)^8 = 0,00065536.

Die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Torpedo die letzten
sieben Kammern verfehlt: [(3/5)(1/8) + 2/5]^8 = (19/40)^8.

Die Wahrscheinlichkeit, dass den ersten Kammer, und nur den
ersten, getroffen wird: (19/40)^8 - (2/5)^8.

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau einen Kammer getroffen
wird: 8 * [(19/40)^8 - (2/5)^8] ~= 0,015489008477783203125.

Die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Torpedo die letzten sechs
Kammern verfehlt: [(3/5)(1/4) + (2/5)]^8 = (11/20)^8.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten zwei Kammern, und
nur die ersten zwei, getroffen werden:
(11/20)^8 - 2 * (19/40)^8 + (2/5)^8.

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Kammern getroffen
werden: 28 * [(11/20)^8 - 2 * (19/40)^8 + (2/5)^8] ~0,107681886749267578125. (28 = C(8, 2).)

Den Flugzeugtràger wird mit einer Wahrscheinlichkeit von
ungefàhr 1 - (0,10768189 + 0,01548901 + 0,00065536) 0,87617374.

[...]

Brian

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