Wahrscheinlichkeitstabelle

12/03/2008 - 17:08 von Klaas-Hendrik Poelstra | Report spam
Hallo zusammen :-)

Ich hab ein kleines Problem eher allgemeiner Art - zum besseren
Verstàndnis erfinde ich mal ein kleines Beispiel:

Man hat 5 Kàstchen (A bis E) und 5 Steine (1 bis 5). In jedem Kàstchen
ist ein Stein. Man weiß aber nicht, welcher Stein in welchem Kàstchen
ist.

Dafür hat man eine Tabelle mit den Spalten 'A' bis 'E' und den Zeilen
'1' bis '5' gegeben, in der angegeben ist, mit welcher
Wahrscheinlichkeit Stein i im Kàstchen x ist (Wahrscheinlichkeiten
willkürlich vorgegeben).
Da sich in jedem Kàstchen ein Stein befindet und jeder Stein in einem
Kàstchen liegt, ist klar, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten
jeder Zeile und die Summe der Wahrscheinlichkeiten jeder Spalte immer
100% ergeben muss. Jetzt wird ein Kàstchen geöffnet und es stellt sich
heraus, dass sich der gefundene Stein im geöffneten Kàstchen befindet
(Ach nee^^). Gleichzeitig wird klar, dass sich in dem geöffneten
Kàstchen kein anderer Stein befinden kann und dass der gefundene Stein
in keinem anderen Kàstchen liegen kann - die Tabelle muss also
angepasst werden. Die Zelle für das geöffnete Kàstchen und den
gefundenen Stein erhàlt die Wahrscheinlichkeit 100%. In alle anderen
Zellen derselben Zeile und derselben Spalte wird die
Wahrscheinlichkeit 0% eingetragen. Aber was ist mit den übrigen
Zellen?

So... ich hoffe, man kann jetzt verstehen, worauf ich hinaus will
Smile

Ich wàre froh, wenn mir jemand helfen könnte!

Gruß,
khp
 

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#1 earthnut
13/03/2008 - 03:49 | Warnen spam
Klaas-Hendrik Poelstra wrote:

Hallo zusammen :-)

Ich hab ein kleines Problem eher allgemeiner Art - zum besseren
Verstàndnis erfinde ich mal ein kleines Beispiel:

Man hat 5 Kàstchen (A bis E) und 5 Steine (1 bis 5). In jedem Kàstchen
ist ein Stein. Man weiß aber nicht, welcher Stein in welchem Kàstchen
ist.

Dafür hat man eine Tabelle mit den Spalten 'A' bis 'E' und den Zeilen
'1' bis '5' gegeben, in der angegeben ist, mit welcher
Wahrscheinlichkeit Stein i im Kàstchen x ist (Wahrscheinlichkeiten
willkürlich vorgegeben).
Da sich in jedem Kàstchen ein Stein befindet und jeder Stein in einem
Kàstchen liegt, ist klar, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten
jeder Zeile und die Summe der Wahrscheinlichkeiten jeder Spalte immer
100% ergeben muss. Jetzt wird ein Kàstchen geöffnet und es stellt sich
heraus, dass sich der gefundene Stein im geöffneten Kàstchen befindet
(Ach nee^^). Gleichzeitig wird klar, dass sich in dem geöffneten
Kàstchen kein anderer Stein befinden kann und dass der gefundene Stein
in keinem anderen Kàstchen liegen kann - die Tabelle muss also
angepasst werden. Die Zelle für das geöffnete Kàstchen und den
gefundenen Stein erhàlt die Wahrscheinlichkeit 100%. In alle anderen
Zellen derselben Zeile und derselben Spalte wird die
Wahrscheinlichkeit 0% eingetragen. Aber was ist mit den übrigen
Zellen?

So... ich hoffe, man kann jetzt verstehen, worauf ich hinaus will
Smile

Ich wàre froh, wenn mir jemand helfen könnte!

Gruß,
khp



Das kann man so leider nicht sagen. Dafür reicht die Information im
Allgemeinen nicht aus.

Das kann man schon am Beispiel mit nur 3 Steinen und 3 Kàstchen sehen.

Es gibt die folgenden 6 Möglichkeiten die Kuglen auf die Kàstchen zu
verteilen:

Fall 1 1 2 3 1/2
Fall 2 1 3 2 0
Fall 3 2 1 3 0
Fall 4 2 3 1 1/4
Fall 5 3 1 2 1/4
Fall 6 3 2 1 0

Hier soll Fall 1 bedeuten, dass im Kàstchen A der 1. Stein, im Kàstchen
B der 2. Stein und im Kàstchen C der 3. Stein liegt. Außerdem habe ich
noch eine Wahrscheinlichkeit (hier 1/2) dazugeschrieben, mit der der
Fall eintreten soll. Analog bedeutet Fall 6, dass der 3. Stein im
Kàstchen A, der 2. Stein im Kàstchen B und der 1. Stein im Kàstchen C
liegt. Dieser Fall soll aber nie eintreten.

Der erste Stein liegt im ersten Kàstchen, wenn der 1. oder der 2. Fall
eintritt. Das geschieht mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 (hier kann nur
der 1. Fall eintreten, eigenlich steht hier die Summe der
Wahrscheinlichkeiten, mit denen Fall 1 oder Fall 2 eintreten).

Auf gleiche Weise bekommen wir auch die Wahrscheinlichkeiten, mit denen
ein anderer beliebiger Stein in einem beliebigen Kàstchen liegt. Das
entspricht deiner Tabelle. Diese sieht folgendermaßen aus:

Kàstchen A B C
Stein 1 1/2 1/4 1/4
Stein 2 1/4 1/2 1/4
Stein 3 1/4 1/4 1/2

Angenommen wir machen nun Kàstchen A auf und entdecken darin Stein 3,
dann wissen wir, dass Fall 5 oder 6 eingetreten sein muss. Da Fall 6
nicht eintreten kann, ist sicher Fall 5 eingetreten. Stein 1 liegt also
sicher in Kàstchen B und Stein 2 sicher in Kàstchen C. Die Tabelle sieht
nun so aus:

Kàstchen A B C
Stein 1 0 1 0
Stein 2 0 0 1
Stein 3 1 0 0

Wàre allerdings zu Anfang die Wahrscheinlichkeitsverteilung zu den
Fàllen folgendermaßen gewesen

Fall 1 1 2 3 1/4
Fall 2 1 3 2 1/4
Fall 3 2 1 3 1/4
Fall 4 2 3 1 0
Fall 5 3 1 2 0
Fall 6 3 2 1 1/4

hàtten wir die gleiche Tabelle für die Wahrscheinlichkeiten erhalten,
dass die einzelnen Steine in den einzelnen Kàstchen liegen:

Kàstchen A B C
Stein 1 1/2 1/4 1/4
Stein 2 1/4 1/2 1/4
Stein 3 1/4 1/4 1/2

Fànden wir nun aber Stein 3 in Kàstchen A, wüssten wir sicher, dass Fall
6 eingetreten ist. Daher sieht die Tabelle danach so aus:

Kàstchen A B C
Stein 1 0 0 1
Stein 2 0 1 0
Stein 3 1 0 0

Wàre also die zugrundeliegende Fallverteilung nicht bekannt, hàtte uns
die Information, dass in Kàstchen A Stein 3 liegt keine Information
darüber gebracht, wie nun Stein 2 und Stein 3 auf Kàstchen B und C
aufgeteilt sind. Und die Fallverteilung geht leider nicht eindeutig aus
der Stein/Kàstchen-Tabelle hervor.

Bastian

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