Wann ist ein Allquantor zwingend erforderlich?

16/07/2008 - 07:19 von herpers | Report spam
Hallo,

ich habe eine rein formale Frage: Wann muss ein Allquantor benutzt
werden und wann kann man ihn weglassen?

Bei Mengenangaben der Form "\forall x\in X" ist es sicher klar, dass
der Allquantor verwendet werden muss, wenn man sicherstellen will,
dass auch alle Elemente der Menge X gemeint sind.

Wie ist es aber bei einer Enumeration der Menge, z.B. bei
x=1,2,,10. Hier ist meiner Meinung nach durch 1 und 10 der Bereich
eindeutig definiert und durch die Differenz der ersten beiden Elemente
(1 und 2) das Inkrement und somit die gesamte Menge. Die Punkte deuten
an, dass alle Elemente bis 10 durchlaufen werden. Ist in diesem Fall
der Allquantor tatsàchlich erforderlich?

Wenn jemand eine Literaturquelle zur Beantwortung der Frage liefern
könnte, wàre das optimal.

Vielen Dank
Sascha
 

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#1 Balthasar
16/07/2008 - 08:13 | Warnen spam
On Tue, 15 Jul 2008 22:19:34 -0700 (PDT),
wrote:


ich habe eine rein formale Frage: Wann muss ein Allquantor benutzt
werden und wann kann man ihn weglassen?



Es ist gàngige Praxis (in der Mathematik) Allquantoren, deren Bereich
die gesamte Formel ist, wegzulassen. Man schreibt also (meist)
kurzerhand

x + y = y + x,

etc. Und spart sich die Allquantoren Ax, Ay vor der Formel. Man kann
das gut oder schlecht finden, in den meisten Fàllen führt das aber
nicht zu Problemen. (Naja...)


Bei Mengenangaben der Form "Ax e X" ist es sicher klar, dass
der Allquantor verwendet werden muss, wenn man sicherstellen will,
dass auch alle Elemente der Menge X gemeint sind.



Das ist dann aber auch schon eine besondere Form des Allquantors (der
eine Aussage in Bezug auf die Menge aus der x ist/sein darf mit
einschließt). Wenn man das ausführlich schreiben würde, müsste man das
so schreiben:

Ax(x e X -> ...).

Da ist es in der Tat schöner und praktischer, einfach zu schreiben

Ax e X : ...

(Man nennt so was, wenn ich mich recht erinnere, auch einen
/beschrànkten Quantor/.)

Beispielweise:

Ax e IR : x^2 >= 0.

(In der Menge (C gilt das ja bekanntlich nicht mehr.)


Wie ist es aber bei einer Enumeration der Menge, z.B. bei
x=1,2,...,10.



Du meinst x e {1, 2, ..., 10}?


Hier ist meiner Meinung nach durch 1 und 10 der Bereich
eindeutig definiert und durch die Differenz der ersten beiden Elemente
(1 und 2) das Inkrement und somit die gesamte Menge. Die Punkte deuten
an, dass alle Elemente bis 10 durchlaufen werden.



Ja, sicher. So wird der Ausdruck "x=1,2,...,10" denn ja auch
üblicherweise interpretiert. Ware das nicht der Fall/nicht möglich,
dann hàtte man Derartiges schön làngst verbannt aus dem Inventar der
Mathematik.


Ist in diesem Fall der Allquantor tatsàchlich erforderlich?



Also _gesehen_ habe ich schon:

dies und das für (bzw. mit) x = 1, 2, 3, ...

Aber besser/schöner finde ich persönlich

dies und das für (bzw. mit) x e {1, 2, 3, ...}.

Auch hier hat man dann natürlich einfach auf den Allquantor (der sich
über die ganze Formel erstrecken müsste) verzichtet. GEMEINT ist
natürlich:

Ax(x e {1, 2, 3, ...} -> dies und das).

Aber auch die von Dir verwendete Notation kann als eine bestimmte
Abkürzung aufgefasst werden, nàmlich als Abkürzung für

Ax(x = 1 v x = 2 v ... v x = 10 -> ...x...) ;

im "unendlichen Fall" (x e {1, 2, 3, ...}) geht das natürlich nicht
mehr.

Du merkst schon, hier geht es nicht zuletzt um die Problematik
"Bequemlichkeit" vs. "formal korrekter" Schreibweise, etc. Ein
Mathematiker, dem es darum geht, eine mathematische Theorie zu
entwickeln, mathematische Sachverhalte auszuführen/darzustellen, wird
natürlich dazu neigen, redundante Dinge (wie die Allquantoren vor
einer Formel) wegzulassen, wenn das "per Konvention" möglich ist, und
nicht zu (mathematisch relevanten) Problemen führt.


Wenn jemand eine Literaturquelle zur Beantwortung der Frage liefern
könnte, wàre das optimal.



Ein sehr gutes Buch, das ich Dir nur wàrmstens empfehlen kann, ist A.
Tarski, Einführung in die mathematische Logik. Darin geht es natürlich
nicht speziell um diese Frage; aber es bietet eine sehr gute Basis, in
Bezug auf derartige Fragestellungen.


MfG,
Balthasar


P.S. Um Dich nicht zu verwirren, habe ich oben die "Problematik"
offene Formel (d.h. eine Formel in der freie Variablen vorkommen) vs.
Satz/Aussage gar nicht erwàhnt. Eine Formel wie

x^2 >= 0.

ist eigentlich noch gar keine Aussage (kein Satz). D. h. ist kein
sprachliches Gebilde das wahr oder falsch sein könnte (wenn wir hier
"x" als eine Variable auffassen). Erst wenn wir die freie Variable z.
B. mittels eines Quantors _binden_, wird aus der Formel ein Satz/eine
Aussage:

Ax(x^2 >= 0)
oder
Ex(x^2 >= 0),
etc.

(Anmerkung: Habe hier der for the sake of the argument auf die
Verwendung beschrànkter Quantoren verzichtet.)

Deshalb sind -aus streng logischer Sicht- Quantoren "zwingend"
erforderlich (falls Variablen verwendet werden). Man _schreibt_ sie
halt bloß in vielen Fàllen nicht.

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