Wann ist eine endliche Summe positiver rationaler Zahlen eine ganze Zahl?

08/11/2015 - 14:38 von IV | Report spam
Hallo.

1.)
Wann ist eine endliche Summe positiver rationaler Zahlen eine ganze Zahl?

2.)
Gibt es dazu Literaturstellen?

3.)
Gibt es einen Fachbegriff für einen Bruch, in dem Zàhler und Nenner
zueinander teilerfremd sind?

4.)
Gibt es einen Fachbegriff für die Teiler einer ganzen oder natürlichen Zahl
n außer 1?

5.)
Das mathematische Problem aus 1): Eine Summe positiver rationaler Zahlen:
a[1]/b[1] + a[2]/b[2] + ... + a[n]/b[n] = k mit positiv ganzen Zahlen a[1]
.. a[n] (Zàhler), b[1] .. b[n] (Nenner), n und k.
Der Einfachheit halber formulieren wir das Problem um: Die Zàhler sollen
ungleich 1 sein, und in jedem Summanden sollen Zàhler und Nenner des
Summanden zueinander teilerfremd sein.
Damit die Summe eine ganze Zahl ist, muß jeder Nenner ein Teiler des
Kleinsten gemeinsamen Vielfachen der anderen Nenner sein, ja sogar Teiler
des Hauptnenners der anderen Summanden.
Gibt es einen Fachbegriff für solch ein System aus Zahlen, dem die Nenner
angehören müssen?

6.)
Gibt es darüber hinaus noch andere Zusammenhànge, die man aus der Forderung
1.) ableiten kann?

Danke.
 

Lesen sie die antworten

#1 Carlos Naplos
10/11/2015 - 20:03 | Warnen spam
Re-Hallo

IV schrieb am 08.11.2015 um 14:38:

...

3.)
Gibt es einen Fachbegriff für einen Bruch, in dem Zàhler und Nenner
zueinander teilerfremd sind?



gekürzter Bruch


4.)
Gibt es einen Fachbegriff für die Teiler einer ganzen oder natürlichen
Zahl n außer 1?



Primfaktoren


Zu zwei Summanden folgende Überlegung:

Seien p,q (p<>q) Primzahlen, z0,z1,z2 ganze Zahlen und
es gelte z1/p + z2/q = z0

Dann folgt: z0 = z1/p + z2/q = (z1*q + z2*p)/(p*q)
=> p*q*z0 = z1*q + z2*p
=> p*q*z0 - z2*p = z1*q
=> p*(q*z0 - z2) = z1*q
=> p teilt z1

Analog erhàlt man: q teilt z2.

Dann könnte man überlegen, wie es aussieht, wenn der Nenner ein Produkt
p1*p2*...*pn von Primzahlen ist.

Suche mal nach Teilbarkeitstheorie oder Teilbarkeitslehre!

Gruß
CN

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