Wann Transzendente Gleichungen geschlossen lösbar?

22/03/2015 - 14:38 von IV | Report spam
Hallo!

1.) Gibt es umfassende allgemeine Methoden, um zu entscheiden, ob eine
beliebige gegebene t r a n s z e n d e n t e Gleichung Lösungen hat, die
durch geschlossene Ausdrücke darstellbar sind (z. B. durch Elementare
Ausdrücke)? Wenn ja, welche?

2.) Làßt sich auf der Basis von [Chow] eine solche Methode finden? Es fehlen
dafür weitere Sàtze zur Zugehörigkeit von Lösungen weiterer
expln-Funktionenklassen zur Klasse E bzw. L. Sind denn weitere solcher Sàtze
bekannt?
[Chow]: Chow, T. Y.: What is a closed-form number? Amer. Math. Monthly
106 (1999) (5) 440-448 http://www-math.mit.edu/~tchow/closedform.pdf

3.) Gibt es umfassende allgemeine Methoden, um eine beliebige gegebene t r
a n s z e n d e n t e Gleichung in geschlossener Form zu lösen (z. B. durch
Elementare Ausdrücke)? Wenn ja, welche?

4.) Làßt sich auf der Basis von [Chow] (siehe 2.) eine solche Methode
finden?

Danke.
 

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#1 Christian Gollwitzer
23/03/2015 - 00:27 | Warnen spam
Am 22.03.15 um 14:38 schrieb IV:
1.) Gibt es umfassende allgemeine Methoden, um zu entscheiden, ob eine
beliebige gegebene t r a n s z e n d e n t e Gleichung Lösungen hat, die
durch geschlossene Ausdrücke darstellbar sind (z. B. durch Elementare
Ausdrücke)? Wenn ja, welche?



Nun, ich weiß nicht, ob es das als rigoroses Verfahren gibt, aber ein
paar einfache Faustregeln sollten klar sein. Im Folgenden "elementar" alle Körperoperationen + die Umkehrfunktin der transzendenten
Funktionen, die in den Gleichungen stehen.

1) Die Unbekannte kommt sowohl im Argument der transzendenten Funktion
als auch außerhalb vor. In diesen Fàllen kann man die Gleichung nicht
elementar lösen. Beispiel:

y=x+exp(x)

Das kann man möglicherweise mit einem Widerspruch beweisen, weil
ansonsten exp(x) algebraisch sein müsste. Man beachte, dass für
spezielle y natürlich trotzdem elementare Lösungen existieren können,
also z.B. wenn y=2+exp(2) ist, dann hat die Gleichung die Lösung x=2.
Man muss also schon Umkehrbarkeit einer Funktion verlangen, nicht nur in
einem Punkt. Außerdem gibt es natürlich perverse Beispiele wie etwa
y=x+exp(x)-x. Deshalb wird das schwer zu formalisieren sein.

2) Die Unbekannte kommt nur im Argument der transzendenten Funktion vor

Durch Substitution z=trans(x) lösbar mit der UMkehrfunktion trans^-1(x).
Beispiel:

exp(x) + 2*exp(x) = y -> z+2*z = y
-> z=y/3 -> x=ln(y/3)

3) Die Unbekannte kommt nur im Argument vor, es handelt sich aber um
verschiedene Ausdrücke. Dann geht das nur, falls es eine
Funktionalgleichug der transzendenten Funktion gibt, die es erlaubt, die
Argumente auf einheitliche Form zu bringen.

Beispiel: ln(x) + ln(2*x) = y
-> z=ln(x) -> z+z+ln(2) = y -> z=(y-ln(2))/2

Das setzt aber nun spezielles Wissen über die Funktion voraus. Falls da
einfach statt ln() irgeindeine unbekannte Funktion trans(x) steht, geht
es hier nicht.

4) Verschiedene transzendente Funktionen

Geht nur, falls es Funktionalgleichungen zwischen den transzendenten
Funktionen gibt.

Beispiel: sin(x)/cos(x) = y
tan(x) = y -> x=atan(y)

und das ist schon "gemogelt" weil atan nicht di UMkehrfkt von sin oder
cos ist, làsst sich aber auch überführen. Stünde da jetzt irgendeine
andere transzendente Funktion pi(x)/sin(x)=y, dann geht es nicht.

Christian

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