Warum 3D!!! Kugelkoordinaten in n-dim Räumen

09/07/2009 - 15:30 von Vogel | Report spam




In einem dimensional ungeraden (2k+1)-Dim Raum gibt es immer eine Richtung
die normal ist zu den verbliebenen "k" 2D-Ebenen, so dass der Raum als
ganzes (zumindest mathematisch) eine Drehung um die ausgewàhlte Richtung
vollführen kann.
In einem (2k+1)-dim Raum gibt es also immer einen (2k-1)-dim Raum der
invariant gegenüber einer Drehung in einer Ebene ist.
Allerdings gibt es zu diesem (2k-1)-dim Raum, (k-1)*(2k-3) verschiedene
Anordnungen, mit verschiedenen Koordinatensets dür ein und denselben Punkt.
Physikalisch ist jedoch nur die Drehung um einen 1D-Unterraum, da die
verschiedenen Anordnungen höherdimensionaler Unterràume, die invariant
gegenüber einer Drehung in einer Ebene sind, nicht identisch sind.
Physikalische Drehungen gibt es daher nur in einem 3D Raum.




In einem dimensional geraden 2k-Dim Raum bleiben nach der Auswahl einer
Richtung als 1D-Drehachse noch 2(k-1) 2D-Ebenen und

eine 1D-Richtung, normal zu dieser Richtung. Es fehlt daher in einem 2k-Dim
Raum ein Freiheitsgrad damit der Raum als ganzes eine Drehung vollführen
kann. Die eine verwaiste Dimension blockiert die Drehung.





Kugelkoordinaten in höherdimensionalen Ràumen.




Kugelkoordinaten in einem (2k+1)-dim Raum:
In einem (2k+1)-dim Raum gibt es also immer einen (2k-1)-dim Raum der
invariant gegenüber einer Drehung in einer Ebene ist.
(eine Drehung ist also immer eine Drehung um einen Punkt in einer Ebene)
(man kann so einer Drehung eine (mehrdimensionale) Achse zuordnen)
Man kann also den Ortsvektor und seine Projektion auf diese Ebene drehen,
ohne dass sich die Projektion auf die restlichen (2k-1) Koordinaten àndert.




Zur Angabe von Kugelkoordinaten in einem (2k+1)-dim Raum benötigen wir
also:
1.) die Lànge des Ortsvektors,
2.) 1 Winkel zu einer Richtung
3.) k Winkel zur Angabe der Lage in den "k" 2D-Ebenen
(die Lage in einer 2D-Ebene beeinflusst nicht die Lage in den anderen
Ebenen, leitet sich auch algebraisch ab)
Also zusammen:
1 + 1 + k = k + 2 unabhàngige (Werte) Kugelkoordinaten
im 3D; k=1; 3 Werte
im 5D; k=2; 4 Werte
im 7D; k=3; 5 Werte
...




Es gibt also k*(2k-1) verschieden Sets von Kugelkoordinaten zu einem Punkt
in einem (2k+1)-dim Raum.
im 3D; 1*(2*1-1) = 1 Set
im 5D; 2*(2*2-1) = 6 Sets
usw.




z.Bsp. Kugelkoordinaten im 5D
x1 = r*cos(an)*cos(a12)
x2 = r*cos(an)*sin(a12)
x3 = r*cos(an)*cos(a34)
x4 = r*cos(an)*sin(a34)
x5 = r*sin(an)




-
Kugelkoordinaten in einem 2k-dim Raum:
In einem 2k-Dim Raum gibt es keine Drehachsen.
Es gibt aber eine solche in einem 2k-1 Unterraum des 2k Raumes.




Zur Angabe von Kugelkoordinaten in einem 2k-dim Raum benötigen wir also:
1.) die Lànge des Ortsvektors
2.) 1 Winkel zu einer Richtung, bzw. sein Komplementwinkel
3.) (k-1) Winkel zur Lage in der Ebene
Zusammen:
1 + 1 + (k-1) = k+1 Werte




im 4D; k=2; 3 Werte
im 6d; k=3; 4 Werte




Es gibt (k-1)*(2k-3) verschiedene Sets von Kugelkoordinaten zu einem Punkt
in einem 2k-dim Raum.
im 4D; k=2; 1 Set
im 6D; k=3; 6 Sets
usw.




z.Bsp. in einem 4D:
(r, a12, an)
x1 = r*cos(an)*cos(a12)
x2 = r*cos(an)*sin(a12)
x3 = r*sin(an)
x4 = r*cos(an)




in einem 6D;
(r, a12, a34, an)
x1 = r*cos(an)*cos(a12)
x2 = r*cos(an)*sin(a12)
x3 = r*cos(an)*cos(a34)
x4 = r*cos(an)*sin(a34)
x5 = r*sin(an)
x6 = r*cos(an)
(wegen der Struktur der zwei lezten Werte gibt es keine Drehungen in einem
2k-dim Raum)





Schlussfolgerung:
Die Koordinaten in einem (2k+1)-dim Raum grösser als 3D sind also nicht
eindeutig umkehrbar zuordenbar, also nicht bijektiv, zur Punktmenge.
Die Koordinaten in einem 2k-dim Raum grösser als 4D sind auch nicht
eindeutig umkehrbar zuordenbar, also nicht bijektiv, zur Punktmenge.
Jedoch in einem 2k-dim Raum, also auch im 4D, gibt es keine Drehungen.




Ein physikalischer Raum, in dem also die Punkte einmalig und eindeutig sind
und Drehung möglich sind, kann daher höchstens 3D dimensional sein.




Sic!





Selber denken macht klug.
 

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#1 Gregor Scholten
10/07/2009 - 11:58 | Warnen spam
On 9 Jul., 15:30, Vogel wrote:
Physikalisch ist jedoch nur die Drehung um einen 1D-Unterraum, da die
verschiedenen Anordnungen höherdimensionaler Unterràume, die invariant
gegenüber einer Drehung in einer Ebene sind, nicht identisch sind.
Physikalische Drehungen gibt es daher nur in einem 3D Raum.



da du bekanntermaßen die Ansicht vertrittst, der physikalische Raum
könne nur dreidimensional sein, ist eine solche Feststellung von
deiner Seite wenig beeindruckend.


In einem dimensional geraden 2k-Dim Raum bleiben nach der Auswahl einer
Richtung als 1D-Drehachse noch 2(k-1) 2D-Ebenen und

eine 1D-Richtung, normal zu dieser Richtung.



so ein Unsinn. Das Gegenteil ist der Fall. Bei einem Raum mit einer
geraden Dimensionenzahl D = 2n, n \in IN verbleiben nach Festlegung
einer Richtung als Achse für die Drehbewegung D-1 = 2n-1 Richtungen,
die man n-1 zueinander orthogonale 2D-Unterràume und einen weiteren 1D-
Unterraum zerlegen kann.


Es fehlt daher in einem 2k-Dim
Raum ein Freiheitsgrad damit der Raum als ganzes eine Drehung vollführen
kann.



wahrscheinlich fehlt deinem Gehin ein Freiheitsgrad damit es denken
kann.

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