Warum kann man 3-Vektoren nicht multiplizieren?

17/08/2011 - 10:15 von Jutta Gut | Report spam
Hallo!

Im Thread "Identifizieren und Einbetten mathematischer Objekte" ist die
Frage aufgetaucht, ob man im R^3 eine Multiplikation definieren kann. Hier
ist der Beweis dazu aus meinem Lineare Algebra-Skriptum von Prof. Cigler (1.
Semester). Ich habe manchmal leicht umformuliert. Mit "Raum" ist immer der
dreidimensionale Anschauungsraum gemeint.

==
Satz: Es ist unmöglich, für Vektoren im Raum ein Produkt zu definieren,
bezüglich dessen die Vektoren einen Körper bilden.

Beweis: Wir nehmen an, es wàre möglich, ein solches Produkt zu definieren
und zeigen, dass das auf einen Widerspruch führt.

Sei e das Einheitselement in diesem Körper. Dann sind die Vektoren e, x,
x*x, x*x*x l.a. für jedes x, weil im Raum je 4 Vektoren l.a. sind.
=> Es existieren a_1 aus R (nicht alle = 0), so dass

a_0*e + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3 = 0 ist.

Der Fundamentalsatz der Algebra zeigt, dass das Polynom
p(x) = a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3 für a_3 <> 0 sich entweder in der
Gestalt

p(x) = a_3*(x - a)*((x - b)^2 + c^2) mit a, b, c, reell oder in der
Gestalt

p(x) = a_3*(x - d_1)*(x - d_2)*(x - d_3)

schreiben làsst, wobei alle d_i reell sind.
Da diese Faktorisierungen Identitàten sind, ist also entweder

(x - a*e)*((x - b*e)^2 + (c*e)^2) = 0 oder

(x - d_1*e)*(x - d_2*e)*(x - d_3*e) = 0.

(Wir haben überdies angenommen, dass axb = abx gilt.)
=> Einer der Faktoren muss 0 sein. Es ist also entweder x - d*e = 0, d.h. x
= d*e oder (x - b*e)^2 + (c*e)^2 = 0, Wobei b und c reell sind.
Ist a_3 = 0, dann gilt a_0*e + a_1*x + a_2*x^2 = 0 und es folgt genau
dasselbe.

Betrachten wir den Fall (x - b*e)^2 + (c*e)^2 = 0. Setzt man hier x - b*e =
c*f, so folgt c^2*f^2 + c^2*e^2 = 0. d.h. f^2 = -e^2 = -e, weil e das
Einheitselement ist.
Es ist also x - b*e = c*f oder x = b*e + c*f.

In jedem Fall würde sich x als reelle Linearkombination von e und f
darstellen lassen. Das widerspricht aber der Tatsache, dass unser Raum
dreidimensional ist.

=
Den letzten Schritt habe ich zuerst nicht ganz verstanden, denn es könnte
doch für verschiedene x verschiedene Vektoren f mit f^2 = -e geben. Aber
anscheinend ist die Überlegung, die hier ausgelassen wurde: Wenn es zwei
voneinander und von e linear unabhàngige Vektoren f_1, f_2 mit f_i^2 = -e
gàbe, dann wàre auch das Produkt f_1*f_2 von f_1, f_2 und e unabhàngig. Dann
hàtte der Raum aber mindestens 4 Dimensionen. (Richtig?)

Ich habe dazu noch gefunden:
http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_theorem_(real_division_algebras)
(dazu bin ich nicht sattelfest genug in Algebra),
oder auf Deutsch:
http://jones.math.unibas.ch/~kraft/Proseminar/Vortraege/Vortrag11.pdf (sehr
knapp).

Grüße
Jutta
 

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#1 Carsten Schultz
17/08/2011 - 10:44 | Warnen spam
Am 17.08.11 10:15, schrieb Jutta Gut:
Hallo!

Im Thread "Identifizieren und Einbetten mathematischer Objekte" ist die
Frage aufgetaucht, ob man im R^3 eine Multiplikation definieren kann.
Hier ist der Beweis dazu aus meinem Lineare Algebra-Skriptum von Prof.
Cigler (1. Semester). Ich habe manchmal leicht umformuliert. Mit "Raum"
ist immer der dreidimensionale Anschauungsraum gemeint.

==>
Satz: Es ist unmöglich, für Vektoren im Raum ein Produkt zu definieren,
bezüglich dessen die Vektoren einen Körper bilden.

Beweis: Wir nehmen an, es wàre möglich, ein solches Produkt zu
definieren und zeigen, dass das auf einen Widerspruch führt.

Sei e das Einheitselement in diesem Körper. Dann sind die Vektoren e, x,
x*x, x*x*x l.a. für jedes x, weil im Raum je 4 Vektoren l.a. sind.
=> Es existieren a_1 aus R (nicht alle = 0), so dass

a_0*e + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3 = 0 ist.

Der Fundamentalsatz der Algebra zeigt, dass das Polynom
p(x) = a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3 für a_3 <> 0 sich entweder in der
Gestalt

p(x) = a_3*(x - a)*((x - b)^2 + c^2) mit a, b, c, reell oder in der
Gestalt

p(x) = a_3*(x - d_1)*(x - d_2)*(x - d_3)

schreiben làsst, wobei alle d_i reell sind.
Da diese Faktorisierungen Identitàten sind, ist also entweder

(x - a*e)*((x - b*e)^2 + (c*e)^2) = 0 oder

(x - d_1*e)*(x - d_2*e)*(x - d_3*e) = 0.

(Wir haben überdies angenommen, dass axb = abx gilt.)
=> Einer der Faktoren muss 0 sein. Es ist also entweder x - d*e = 0,
d.h. x = d*e oder (x - b*e)^2 + (c*e)^2 = 0, Wobei b und c reell sind.
Ist a_3 = 0, dann gilt a_0*e + a_1*x + a_2*x^2 = 0 und es folgt genau
dasselbe.

Betrachten wir den Fall (x - b*e)^2 + (c*e)^2 = 0. Setzt man hier x -
b*e = c*f, so folgt c^2*f^2 + c^2*e^2 = 0. d.h. f^2 = -e^2 = -e, weil e
das Einheitselement ist.
Es ist also x - b*e = c*f oder x = b*e + c*f.

In jedem Fall würde sich x als reelle Linearkombination von e und f
darstellen lassen. Das widerspricht aber der Tatsache, dass unser Raum
dreidimensional ist.

=>
Den letzten Schritt habe ich zuerst nicht ganz verstanden, denn es
könnte doch für verschiedene x verschiedene Vektoren f mit f^2 = -e
geben.



Außer f und -f kann es keine weiteren Elemente dieser Art geben, da ein
quadratisches Polynom nicht mehr als zwei Nullstellen haben kann.

Gruß

Carsten

Carsten Schultz (2:38, 33:47)
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