Was eine Wohlordnung ist

20/09/2010 - 22:21 von Karlheinz | Report spam
Eine Wohlordnung ist - im Ergebnis - eine eindeutige Reihenfolge
(Cantor: Sukzession) AUSNAHMSLOS ALLER Elemente einer Menge.

Das wars und es bedeutet lediglich, dass jedes Element einmalig
und eindeutig identifizierbar ist.

Wie "ökonomisch" die dafür erforderliche(n) Relation das ausdrücken,
ist schnuppe, also ob man eine elegante Formel hat, oder, im Maximalfall
eine Kreuzttabelle, die jedes Element zu jedem anderen in Beziehung
(Relation) setzt, also z.B.

1 2 3 4 ...

1 = < < < ...

2 > = < < ...

3 > > = < ...

4 ...
.

Es ist also AUSNAHMSLOS JEDE Menge eine Wohlordndung, wenn man die
Relation ihrer Elemente in Form einer solchen VOLLSTÄNDIGEN Form
(z.B. Tabelle) angeben kann.

Z.B. ist das eine Wohlordnung:

897607,23434 < 8,876 < 10000^100000 < 2 < 0,986979 < ...

solange ALLE Elemente vorkommen.

Das heisst: sobald alle Elemente einmalig sind und man alle Elemente
aufzàhlen kann und diese Aufzàhlung eindeutig ist, haben wir eine
Wohlordnung, und das heisst wiederum (auch laut Cantor): sobald
man ALLE Elemente einer Menge in IRGENDEINE BELIEBIGE Reihenfolge
bringen kann (und explizit bringt) hat man eine Wohlordnung.

Im Falle von R ist das offensichtlich mindestens einfach "zu viel"
(Schreib-) "Arbeit", denn man hat keine elegante Form der Darstellung
der erforderlichen Relation zur Verfügung wie bei N (mit exakt
einem Nachfolger pro Element der Menge). Aber das ist alles, und
selbstverstàndlich kann man (eine "aktuale" Menge) R so wohlorden...

Die Elemente alle Mengen mit vollstàndig unterscheidbaren Elementen,
(d.h. wie gesagt auch R) haben also PRINZIPIELL die Möglichkeit (weil
sie per Definition unterscheidbar sind), in Sequenz (= Wohlordnung)
gebracht zu werden (mit oder ohne expliziter Extra-Indexmenge - das
ist ja nur ein terminus technicus).

Und da unendliche Mengen kein größtes Element haben, sind unendliche
Mengen mit Wohlordnung alle gleichmàchtig (denn wo sollte die Bijektion
abbrechen).
 

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#1 Karlheinz
20/09/2010 - 22:29 | Warnen spam
Karlheinz schrieb:

Eine Wohlordnung ist - im Ergebnis - eine eindeutige Reihenfolge
(Cantor: Sukzession) AUSNAHMSLOS ALLER Elemente einer Menge.
...
Und da unendliche Mengen kein größtes Element haben, sind unendliche
Mengen mit Wohlordnung alle gleichmàchtig (denn wo sollte die Bijektion
abbrechen).



Und ich weiss auch, welchen Denkfehler Cantor mit seiner Theorie
gemacht hat. Wenn man das weiss, ist die Antwort erstaunlich simpel,
natürlich erst nachdem man drauf gekommen ist und das verstanden hat.
Aber das erzàhle ich euch ... vielleicht ... ein anderes mal... ;)

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