Was ist die Cartan-Killing-Metrik

10/03/2008 - 14:14 von Kay-Michael Voit | Report spam
Hallo,
ich bin gerade auf den Begriff Cartan-Killing-Metrik gestoßen. Leider
wird es hier nur verwendet, nicht definiert und ein passendes Buch finde
ich nicht. Google gibt auch nciht viel her.
Es scheint mir so, als wàre das eine Metrik, die aus den
Strukturkoeffizienten einer Lie-Algebra erzeugt wird. Ist das immer so?
Wie ist die genaue Definition?

Vielen Dank schonmal und Gruß
Kay-Michael Voit
 

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#1 Roland Franzius
10/03/2008 - 16:53 | Warnen spam
Kay-Michael Voit schrieb:
Hallo,
ich bin gerade auf den Begriff Cartan-Killing-Metrik gestoßen. Leider
wird es hier nur verwendet, nicht definiert und ein passendes Buch finde
ich nicht. Google gibt auch nciht viel her.
Es scheint mir so, als wàre das eine Metrik, die aus den
Strukturkoeffizienten einer Lie-Algebra erzeugt wird. Ist das immer so?
Wie ist die genaue Definition?



Allgemein ist die Killing-Form auf der Lie-Algebra die Spur der
Matrixkoeffizenten des Produkts in der adjungierten Darstellung

<X, Y> = Tr ad(X) ad(Y)

Die adjungierte Darstellung ist die Darstellung des Kommutators durch
lineare Abbildungen in einer gegebenen Basis der Lie-Algebra

[X_i,X_k] = X_l (t_i)^l_k

ad(X_i)(X_k) = [X_i,X_k] = X_l (t_i)^l_k

wobei man die Matrizen von Strukturkonstanten der Liealgebra als deren
Elemente selbst auffasst.

http://en.wikipedia.org/wiki/Killing_form

Wenn ichs richtig sehe, ist die Cartan-Killing-Form wohl die
Killing-Form im Prinzipalbündel mit der Lie-Algebra der Erzeugenden der
Invarianzgruppe, also das die Spur des Skalarprodukts der Drehimpulse in
SO(i,j).


Roland Franzius

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