Was ist ein Beweis?

05/11/2010 - 09:10 von Philo | Report spam
Prof. Mückenheims abstruser Widerspruchsbeweis zur Limesbildung bei
Mengen, aber auch andere sogenannte Beweise, die man hier und da
findet, führen zu der Frage, ob und woran man einen Beweis erkennt.
Die beiden Mathematiker P.J. Davis und R. Hersh behandeln sie in Form
eines fiktiven Dialogs in ihrem wunderbaren Buch "Erfahrung
Mathematik" (1985). In dem selbstironischen Kapitel "Der ideale
Mathematiker" geht es um einen Prototyp ihrer Zunft. Zitate:

"Was wir anstreben, ist ein unrealistisch typisches Exemplar, an dem
die paradoxen und problematischen Aspekte der Rolle des Mathematikers
besonders deutlich zutage treten. Vor allem möchten wir die Diskrepanz
zwischen der tatsàchlichen Arbeit und Tàtigkeit eines Mathematikers
und den Vorstellungen, die sich dieser von seiner Arbeit und Tàtigkeit
macht, möglichst klar herausstellen."
[...]
Er vertraut dem strengen Beweis; er ist überzeugt, daß zwischen einem
richtigen und einem falschen Beweis ein unverkennbarer, entscheidender
Unterschied besteht. Wenn er über einen Studenten sagt, 'der weiß ja
nicht mal, was ein Beweis ist', so fàllt er damit das vernichtendste
Urteil, das er sich vorstellen kann. Dessen ungeachtet ist er nicht in
der Lage, für jedermann verstàndlich zu erklàren, was unter 'Strenge'
zu verstehen ist oder was es zu einem strengen Beweis braucht. In
seinen eigenen Arbeiten ist die Grenze zwischen vollstàndigem und
unvollstàndigem Beweis immer etwas unscharf und hàufig kontrovers."
[...]
Doch schauen wir einmal, wie unser idealer Mathematiker mit einem
Studenten zurechtkommt, der ihn mit einer eher ungewöhnlichen Frage
heimsucht:

Student: Herr Professor, was ist eigentlich ein mathematischer Beweis?

I. M. Was, das wissen Sie nicht? In welchem Semester sind Sie denn?

Student: Nachdiplomstudium.

I. M. Das ist nicht zu glauben! Ein Beweis ist, was Sie mich jahrelang
dreimal wöchentlich an der Tafel vorführen sahen. Das ist ein Beweis.

Student: Verzeihung, Herr Professor, ich hàtte Ihnen vielleicht sagen
sollen - ich studiere Philosophie, nicht Mathematik, und habe Ihre
Vorlesungen nie gehört.

I. M. Na ja, in dem Fall. Ein wenig Mathematik haben Sie aber doch
gelernt? Kennen Sie den Beweis des Hauptsatzes der Differential- und
Integralrechnung oder den Fundamentalsatz der Algebra?

Student: Ich habe in der Geometrie, der Algebra und in der
Differential- und Integralrechnung Argumente gesehen, die man Beweise
nannte. Was ich von Ihnen wissen möchte, sind aber nicht Beispiele von
Beweisen, sondern eine Definition des Beweises. Wie kann ich sonst
wissen, welche Beispiele richtig sind?

I. M. Mit dieser Frage hat sich meines Wissens der Logiker Tarski
beschàftigt, vielleicht auch einige andere, Russell oder Peano. Also,
man geht folgendermaßen vor: man schreibt die Axiome seiner Theorie in
einer formalen Sprache mit Hilfe einer Reihe von Symbolen oder einem
Alphabet nieder. Dann schreibt man die Voraussetzung des Satzes in
denselben Symbolen auf. Dann zeigt man, daß sich diese Voraussetzung
Schritt um Schritt nach den Regeln der Logik umwandeln làßt, bis man
bei der Schlußfolgerung ankommt. Das ist ein Beweis.

Student: Ach, wirklich? Das ist erstaunlich. Ich habe elementare und
fortgeschrittene Differential- und Integralrechnung, elementare
Algebra und Topologie gehört und habe noch nie so etwas gesehen.

I. M. Natürlich tut das keiner! Es würde ja ewig dauern. Man zeigt
einfach, daß man es tun könnte, wenn man wollte. Das reicht.

Student: Aber auch das klingt nicht wie das, was in meinen Vorlesungen
und Lehrbüchern praktiziert wurde. Das alles làuft darauf hinaus, daß
die Mathematiker doch nichts beweisen.

I. M. Selbstverstàndlich tun wir das. Ein Satz, der nicht bewiesen
ist, ist nichts.

Student: Aber wenn das so ist, was ist dann ein Beweis? Wenn es die
Sache mit der formalen Sprache und der Umwandlung von Formeln ist,
beweist kein Mensch je irgend etwas. Muß mann denn alles über formale
Sprachen und formale Logik wissen, bevor man einen mathematischen
Beweis produzieren kann?

I. M. Natürlich nicht! Je weniger man weiß, desto besser. Ohnehin
alles lauter abstrakter Unsinn.

Student: Aber was ist nun ein Beweis wirklich?

I. M. Also, das ist ein Argument, das den überzeugt, der sich auf dem
Gebiet auskennt.

Student: Der sich auf dem Gebiet auskennt? Das heißt aber, daß die
Definition des Beweises subjektiv, von bestimmten Personen abhàngig
ist. Bevor ich entscheiden kann, ob etwas ein Beweis ist, muß ich
entscheiden, wer die Experten sind. Was hat das damit zu tun, daß man
etwas beweisen möchte?

I. M. Aber nein. Mit subjektiv hat das überhaupt nichts zu tun! Jeder
weiß doch, was ein Beweis ist. Lesen Sie ein paar Bücher, hören Sie
Vorlesungen bei einem tüchtigen Mathematiker, und dann wird Ihnen
schon ein Licht aufgehen.

Student: Sind Sie sicher?

I. M. Sicher nicht. Es ist natürlich möglich, daß Ihnen die Begabung
dazu fehlt, das kommt vor.

Student: Es ist also so, daß Sie darüber entscheiden, was ein Beweis
ist, und wenn ich nicht lerne, auf dieselbe Weise zu entscheiden, dann
entscheiden Sie, daß mir eben die Begabung dazu fehlt.

I. M. Ja, wenn nicht ich - wer denn sonst?

[...]

Ist ein Student unfàhig, sich unsere Denkweise zu eigen zu machen,
lassen wir ihn selbstverstàndlich durchfallen. Gelingt es ihm dagegen,
unseren Hindernislauf erfolgreich zu absolvieren, und beschließt er
dann trotzdem, daß unsere Argumente unklar oder gar falsch seien, so
wird er ganz einfach als Querschlàger, Spinner oder Eigenbrötler
abgeschrieben.

[...]

Wir können einen Skeptiker, der seiner Sache sicher ist, durch nichts
davon überzeugen, daß die Dinge, über die wir sprechen, auch wirklich
etwas bedeuten, geschweige denn 'existieren'."

Soweit die Zitate. Wie man sieht, ist die Definition eines Beweises
ebenso schwer wie beispielsweise die Definition eines Punktes. Man
kann eigentlich nur versuchen, anhand von Beispielen die typische
Vorgehensweise bei einem Beweis beschreiben. Der eigentliche Kern
besteht darin, sollte zumindest darin bestehen, mittels einer formalen
Sprache, also den eingeführten Symbolen, und den als korrekt
anerkannten Operationen durch Umwandlung der formal ausgedrückten
Voraussetzungen auf die formal ausgedrückte Behauptung zu gelangen.
Ein einfaches Beispiel ist das Einsetzen einer Zahl in eine Gleichung,
um zu zeigen, dass die Zahl Lösung der Gleichung ist. Sehr oft werden
jedoch zur Abkürzung nicht-formale Argumentationen zwischengeschaltet,
"die Personen überzeugt, die sich auskennen", wie es oben heißt. Man
beruft sich auf bekannte Sàtze oder Definitionen, wobei es oft dem
Leser überlassen bleibt, ihre Verwendung im konkreten Fall zu
verstehen und nachzuvollziehen. Das ganze Verfahren ist eine
Gradwanderung, da es eine Reihe möglicher Fehlerquellen gibt, von
denen die Rechenfehler noch die einfachsten sind.

Aber selbst Fachleute sind sich in manchen Fàllen nicht einig, was als
strenger Beweis gelten kann. Ein schönes Beispiel ist die Diskussion
um den Fundamentalsatz der Algebra, siehe die Darstellung von R.
Remmert in dem Buch "Zahlen" (Ebbinghaus et. al.). Ab einer gewissen
Qualitàt eines Beweises kann man weitere "strenge" Verbesserungen auch
mehr als nette Beigabe zwecks Pràzisierung sehen. Für Strenge gibt es
kein verbindliches Kriterium. Die formale Logik ist eben nur ein
Werkzeug, das nicht sich selbst beurteilen kann und vor allem nichts
über den vorhandenen oder nicht vorhandenen Sinn von Begriffen
aussagt. Formalismen sind nun einmal Menschenwerk und daher der
inhaltlichen Beurteilung durch andere Menschen ausgesetzt. Muss man
wirklich Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen oder analoge Dinge
betrachten, um die Lückenlosigkeit der reellen Zahlen sicherzustellen?
Man kann wie Lipschitz (gegen Dedekind) auf dem Standpunkt stehen,
dass die reellen Zahlen als Punkte ohnehin auf der geometrischen
Anschauung basieren. Die Frage nach der Lückenlosigkeit ist dann eine
Art Spiegelfechterei; das Ergebnis steht von vornherein fest, und
diese logischen Formalismen sind mehr eine Art gekünsteltes Surrogat,
das eine als peinlich empfundene Herkunft vertuschen soll.
Bezeichnenderweise hàlt man sich in vielen Analysis-Vorlesungen mit
diesen Dingen auch gar nicht erst auf.

In diesem Sinne darf jeder selbst überlegen, ob die folgende in
Lehrbüchern zu findende Argumentation, nach der die leere Menge {}
Teilmenge jeder anderen Menge M ist, tatsàchlich einen Beweis
darstellt.

Zu beweisen ist:
x Element von {} => x Element von M

Beweis:
Da {} keine Elemente enthàlt, ist die Pràmisse falsch und somit die
Folgerung wahr (gemàß Wahrheitstafel).
 

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#1 Benno Hartwig
05/11/2010 - 10:30 | Warnen spam
"Philo" schrieb

Zu beweisen ist:


x Element von {} => x Element von M

Beweis:
Da {} keine Elemente enthàlt, ist die Pràmisse falsch und somit die
Folgerung wahr (gemàß Wahrheitstafel).



Was hat dieses
"nach der die leere Menge {} Teilmenge jeder anderen Menge M ist"
mit dem Beweis des Satzes zu tun?

"x Element von {}" ist eine Aussage die als
imer unwahr erkannt ist.
Und A=>B ist als wahr definiert, wenn A unwahr ist.

Es ist ja die Richtigkeit von
"x Element von {} => x Element von M"
zu beweisen und nicht die von
"x Element von M"

Benno

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