Was ist Wahrscheinlichkeit?

27/05/2012 - 04:15 von Ralf . K u s m i e r z | Report spam
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Moin!

Ich hielt das Ziegenproblem eigentlich für abgefrühstückt, stellte
aber überrascht fest, daß die "kanonische" Lösung in diversen Blogs
(und bei Wikipedia auch) immer noch heiß diskutiert wird.

Eine bekannte Bloggerin argumentiert ungefàhr so:

"Man kann logisch herleiten und erkennt auch aus Experimenten mit
Zufallsgeneratoren, daß bei vielen Durchgàngen die statistische
Hàufigkeit des Gewinns bei einem Wechsel 2/3 betràgt."

- "Aha, sie hat's begriffen", denkt man.

Hat sie aber offenbar doch nicht. Sie fàhrt dann nàmlich (sinngemàß)
fort:

"Das hat aber keine Bedeutung für den einzelnen Kandidaten bei einem
einzelnen Durchgang. Der steht nàmlich vor der Wahl zwischen zwei
Türen, und die sind mangels besserer Informationen gleich
wahrscheinlich."

Ähm ... *kopfkratz*

Ja, also, was soll denn wohl Wahrscheinlichkeit überhaupt sein, wenn
nicht die erwartete Hàufigkeit des Eintritts eines Ereignisses bei
vielen Realisationen einer Zufallsvariablen?

Ja, also: Na, eben - bei vielen Realisationen.

Aber was bedeutet "Wahrscheinlichkeit" bei einem für den Betreffenden
einmaligen Ereignis, also z. B. einer Entscheidungssituation, die sich
für ihn niemals wiederholen wird?

Ich muß zugeben, daß ich die Frage nicht beantworten kann.

(Dummerweise ist mir aufgefallen, daß ich von einigen anderen
grundlegenden Dingen, aus der Physik z. B. Lànge, Zeit, Masse und
Ladung, auch eigentlich nicht weiß, "was das ist". Einsteins
Definition "Zeit ist das, was Uhren messen" ist nàmlich Blödsinn: Eine
Uhr wird deswegen Uhr genannt, weil man ihr die Aufgabe zuweist, Zeit
zu messen. Zu sagen, daß Zeit das ist, was von Uhren gemessen wird,
ist also tautologisch (wobei ich jetzt nicht weiß, ob Einstein das
nicht wußte und nur einen Scherz gemacht hat). Solange man nicht
unabhàngig von der Existenz von Uhren bzw. der Kenntnis konkreter
Uhren weiß, was Zeit ist, kann man also gar nicht feststellen, ob das,
was man für eine Uhr hàlt, auch eine ist, also wirklich die Zeit mißt.
Feststellen kann man eigentlich nur, wenn etwas keine Uhr ist: Wenn
ich einen Lederbecher nehme, eine kleine Quarzuhr reinstecke, den
Becher schüttele und auf den Tisch entleere, dann sind die Zahlen auf
der Anzeige im Prinzip dieselben wie die auf dem Ding an der Wand, das
man Uhr nennt, und zwar auch bei vielen Wiederholungen des
Experiments. Wenn die Wanduhr also eine Uhr ist, dann könnte die
Quarzuhr im Becher auch eine sein. Nehme ich aber statt der kleinen
Quarzuhr einen Spielwürfel, dann sind die gewürfelten Augenzahlen
offenbar unkorreliert mit der Anzeige der Wanduhr. Die Wanduhr und der
Spielwürfel können also nicht zugleich funktionierende Uhren sein. Mit
solchen Experimenten kann man im Prinzip eine Klasse von Objekten
finden, die korrelierte Anzeigen abliefern: Pendel mit angebauten
Periodenzàhlern, verànderliche Sterne, elektrische Oszillatoren,
radioaktive Pràparate, Atomuhren... Bloß, was Zeit ist, weiß man davon
nicht. Augustinus hatte das, ohne Physikkenntnisse zu haben, auch
schon festgestellt.)

Fairerweise muß man auch einràumen, daß die Lösung des Ziegenproblems
gar nicht so klar ist, wie sie zu sein scheint. Die "mathematisch
korrekte" Lösung ist nàmlich nur dann richtig, wenn man die Aufgabe
auch entsprechend eindeutig formuliert (wie es G. v. Randow in seinem
Buch gemacht hat). Auch M. vos Savant hat natürlich eindeutige und
bekannte Spielregeln vorausgesetzt. Allerdings zu Unrecht: In der
Monty-Hall-Show, aus der sich das Ziegenproblem ableitet, gibt es
diese eindeutigen Spielregeln nàmlich gar nicht, sondern die Regeln
werden vom Showmaster nach Lust und Laune veràndert, und er beeinflußt
Kandidaten auch massiv. Dort wàre also die Überlegung "keine Ahnung,
hinter welcher Tür der Gewinn ist, die sind alle gleich
wahrscheinlich" überhaupt nicht irrational: Der Showmaster könnte
seine Entscheidung, ob er dem Kandidaten eine nicht gewàhlte Tür
öffnet und ihm dann eine Wechselmöglichkeit anbietet, nàmlich von dem
Kandidaten nicht bekannten Umstànden wie der Position des Gewinns
abhàngig machen - er könnte ihn mit dem angebotenen Wechsel von der
zuerst gewàhlten richtigen Gewinntür weglocken wollen. Und solche
"unfairen und regelwidrigen Tricksereien" würden genau dem
Erfahrungshorizont und damit den Erwartungen der Zuschauer der
Monty-Hall-Show entsprechen.

Überhaupt hàngt die Wahrscheinlichkeit vom individuellen Wissenstand
ab und ist damit nicht objektiv. Zur Illustration:

Die Ziegenshow soll mit strengen Regeln, also ohne Trickserei,
stattfinden. Aber sie wird live übertragen. Und bei Livesendungen muß
man für mögliche Pannen vorsorgen. Imaginieren wir folgenden Ablauf:
Der Kandidat hat gewàhlt, der Moderator hat eine Ziegentür geöffnet
und fragt den Kandidaten, ob er wechseln will. Der antwortet aber
nicht, sondern wird ohnmàchtig und muß medizinisch vesorgt werden.

The show must go on! Tut sie auch: Für solche Fàlle sitzt der
Ersatzkandidat im Nebenraum, der dort am Monitor die bisherige Sendung
verfolgt haben soll - der wird geholt und soll einspringen. Zu seinem
Vertrag gehört, daß er keine Scherereien macht und notfalls
improvisiert. Der Ersatzkandidat sitzt nun da und soll für den
ohnmàchtigen weiterspielen.

Was in der Aufregung keiner gemerkt hat: Der Monitor im Wartezimmer
war ausgefallen - der Ersatzkandidat soll sich also jetzt zwischen den
beiden noch geschlossenen Türen entscheiden, hat aber keine Ahnung,
welche die ursprünglich gewàhlte war - fragen und dadurch die
technische Panne offenbaren darf er aber auch nicht, sonst
Konventionalstrafe. Für den Moderator ist die Wahrscheinlichkeit 2:1
für Wechseln - für den Ersatzkandidaten ist aber die
Gewinnwahrscheinlichkeit beider Türen gleich, da er leider keine
Ahnung hat, welche der beiden für "Wechseln" steht - er muß sozusagen
"blind" eine der beiden zur Auswahl stehenden Tasten drücken. Dieselbe
Auswahl hat also zwei unterschiedliche Erfolgswahrscheinlichkeiten, je
nach dem Erfahrungshorizont des Betrachters. (Was so verblüffend nun
wirklich nicht ist: Für einen Kandidaten, der ebenfalls unfair agiert
und die Gewinntür ausspioniert hat, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit
schließlich weder 0,5 noch 2/3, sondern 1 - das überrascht auch
niemanden.)

Was also ist Wahrscheinlichkeit?

Ich bin in diesem Zusammenhang noch auf etwas gestoßen, von dem ich
nicht genau weiß, ob man es vielleicht als Paradoxon ansehen könnte.
Eine mathematisch àquivalente Aufgabe zum Ziegenproblem ist das
Drei-Gefangenen-Problem: Einer wird hingerichtet, die beiden anderen
freigelassen, sie wissen aber nicht, wer von ihnen. Einer der drei
fragt den Wàrter nach dem Namen eines der anderen freizulassenden
Mitgefangenen und bekommt einen genannt - steigt dadurch sein Risiko,
hingerichtet zu werden, von 1/3 auf 1/2?

Ich modifiziere das Drei-Gefangenen-Problem etwas: Nun sind es drei
Zweiergruppen, von denen eine hingerichtet wird. Die beiden aus der
Gruppe, die es trifft, fragen getrennt zwei verschiedene Wàrter nach
einer freizulassenden Gruppe und bekommen beide verschiedene genannt.
Subjektiv ist ihre Hinrichtungswahrscheinlichkeit, wenn sie sich über
diese Information nicht austauschen können, weiterhin ein Drittel.
Objektiv ist sie aber 1, und wenn sie die Einzelinformationen
kombinieren könnten, dann wüßten sie das auch. (Es wàre, als ob zwei
Kandidaten bei der gleichen Türenkombination zwei verschiedene
Ziegentüren gezeigt bekàmen. Es existiert ein verborgener Parameter,
nàmlich die Lage der Auto-Tür - die Gewinnwahrscheinlichkeit in
Abhàngigkeit von der Wechselstrategie ist damit nur Illusion, sie
betràgt weder 1/3 noch 1/2 noch 2/3, sondern 0 oder 1 - die Kandidaten
wissen es nur nicht, welches von beiden.)

Was also ist Wahrscheinlichkeit, wenn sie offenbar auch vom Vorwissen
über die Situation abhàngt?

Offenbar so etwas wie Zeit und Raum: Rechnen kann man damit, aber man
weiß nicht, was es ist. Und das macht es so schwer, jemanden von der
Falschheit seiner Überlegungen zur Gewinnwahrscheinlichkeit zu
überzeugen.


Gruß aus Bremen
Ralf
R60: Substantive werden groß geschrieben. Grammatische Schreibweisen:
adressiert Appell asynchron Atmosphàre Autor bißchen Ellipse Emission
gesamt hàltst Immission interessiert korreliert korrigiert Laie
nàmlich offiziell parallel reell Satellit Standard Stegreif voraus
 

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#1 Jürgen R.
27/05/2012 - 07:53 | Warnen spam
"Ralf . K u s m i e r z" schrieb im Newsbeitrag
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Moin!

Ich hielt das Ziegenproblem eigentlich für abgefrühstückt, stellte
aber überrascht fest, daß die "kanonische" Lösung in diversen Blogs
(und bei Wikipedia auch) immer noch heiß diskutiert wird.

Eine bekannte Bloggerin argumentiert ungefàhr so:

"Man kann logisch herleiten und erkennt auch aus Experimenten mit
Zufallsgeneratoren, daß bei vielen Durchgàngen die statistische
Hàufigkeit des Gewinns bei einem Wechsel 2/3 betràgt."

- "Aha, sie hat's begriffen", denkt man.

Hat sie aber offenbar doch nicht. Sie fàhrt dann nàmlich (sinngemàß)
fort:

"Das hat aber keine Bedeutung für den einzelnen Kandidaten bei einem
einzelnen Durchgang. Der steht nàmlich vor der Wahl zwischen zwei
Türen, und die sind mangels besserer Informationen gleich
wahrscheinlich."

Ähm ... *kopfkratz*

Ja, also, was soll denn wohl Wahrscheinlichkeit überhaupt sein, wenn
nicht die erwartete Hàufigkeit des Eintritts eines Ereignisses bei
vielen Realisationen einer Zufallsvariablen?

Ja, also: Na, eben - bei vielen Realisationen.

Aber was bedeutet "Wahrscheinlichkeit" bei einem für den Betreffenden
einmaligen Ereignis, also z. B. einer Entscheidungssituation, die sich
für ihn niemals wiederholen wird?

Ich muß zugeben, daß ich die Frage nicht beantworten kann.

(Dummerweise ist mir aufgefallen, daß ich von einigen anderen
grundlegenden Dingen, aus der Physik z. B. Lànge, Zeit, Masse und
Ladung, auch eigentlich nicht weiß, "was das ist". Einsteins
Definition "Zeit ist das, was Uhren messen" ist nàmlich Blödsinn:



Genau! Kusmierz durchschaut den Betrüger Einstein und Mückenheim
hat bewiesen, dass Hilbert ein Trottel war.

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