Was sind und was sollen die Peano-Axiome?

14/05/2010 - 03:03 von Albrecht | Report spam
Laut Wikipedia werden die Peano-Axiome heute folgendermaßen angegeben:


1. 0 ist eine natürliche Zahl.
2. Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n', der
ebenfalls eine natürliche Zahl ist.
3. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
4. Jede natürliche Zahl ist Nachfolger höchstens einer natürlichen
Zahl.
5. Von allen Mengen X, welche

* die Zahl 0 und
* mit jeder natürlichen Zahl n auch stets deren Nachfolger
n'
enthalten, ist die Menge der natürlichen Zahlen die kleinste.

Schn Russell hat schon darauf hingewiesen, dass damit jedes abzàhlbare
Zahlensystem definiert ist. So entspricht die Menge
{0, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ...}
den Peano-Axiomen. Ist das die Menge der natürlichen Zahlen?
Oder ist
{0, 0.1, 0.11, 0.111, ...} die Menge der natürlichen Zahlen?
Selbst
{0, 10, 100, 1000, ...} oder auch {0, 0', 0'', 0''', ...} und {0, a, b,
c, 1, 2, 3, ...) fallen unter die Mengen die die Peano-Axiome
beschreiben.

Wieso wird immer wieder behauptet, die Peano-Axiome würden die nat.
Zahlen definieren?

Gruß
Albrecht
 

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#1 Jürgen R.
14/05/2010 - 10:09 | Warnen spam
Albrecht wrote:
Laut Wikipedia werden die Peano-Axiome heute folgendermaßen angegeben:


1. 0 ist eine natürliche Zahl.
2. Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n',
der ebenfalls eine natürliche Zahl ist.
3. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
4. Jede natürliche Zahl ist Nachfolger höchstens einer natürlichen
Zahl.
5. Von allen Mengen X, welche

* die Zahl 0 und
* mit jeder natürlichen Zahl n auch stets deren
Nachfolger n'
enthalten, ist die Menge der natürlichen Zahlen die kleinste.

Schn Russell hat schon darauf hingewiesen, dass damit jedes abzàhlbare
Zahlensystem definiert ist. So entspricht die Menge
{0, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ...}
den Peano-Axiomen. Ist das die Menge der natürlichen Zahlen?
Oder ist
{0, 0.1, 0.11, 0.111, ...} die Menge der natürlichen Zahlen?
Selbst
{0, 10, 100, 1000, ...} oder auch {0, 0', 0'', 0''', ...} und {0, a,
b, c, 1, 2, 3, ...) fallen unter die Mengen die die Peano-Axiome
beschreiben.

Wieso wird immer wieder behauptet, die Peano-Axiome würden die nat.
Zahlen definieren?

Gruß
Albrecht



Man muss zwischen einem Begriff und den Symbolen, die
den Begriff repràsentieren, zu unterscheiden verstehen.

Du kannst gerne andere Folgen neben {0,1,2...} benutzen,
um die natürlichen Zahlen darzustellen, auch die von dir
angegebenen.

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