Wavelet Analyse für Anfänger

31/01/2014 - 23:21 von Sven Schulz | Report spam
Hallo,

wahrscheinlich kann mir hier jemand meine Frage praktisch erklàren.

Bei einer Fourier-Anlyse eines Signals nehme ich das zu analysierende Signal
und nehme Sinusfunktionen der Reihe nach her und addiere diese
Sinusfunktionen auf, drehe vorher noch geschickt an der Amplitude der
Sinusfunktionen, und mache das solange bis das zu analysierende Signal mit
der Anhàufung der Sinusfunktionen übereinstimmt. Ich habe dann mein
Amplituden-Frequenz-Spektrum des zu analysierenden Signals. Wenn das so
nicht richtig ist, dann bitte korrigieren.

Kann mir jemand das mal ganz praktisch erklàren wie das mit der
Wavelet-Transformation geht? Was ich bisher fand war doch sehr mathematisch
beschrieben und praktisch unverstàndlich.

Sven
 

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#1 Sieghard Schicktanz
01/02/2014 - 02:20 | Warnen spam
Hallo Sven,

Du schriebst am Fri, 31 Jan 2014 23:21:56 +0100:

Bei einer Fourier-Anlyse eines Signals nehme ich das zu analysierende
Signal und nehme Sinusfunktionen der Reihe nach her und addiere diese


...
Nenene, so geht das nicht. Was Du hier beschreibst, ist nicht die Fourier-
Analyse, sondern das Gegenteil, die Synthese. Außerdem hast Du vergessen,
daß Du nicht nur Sinus-, sondern auch Cosinusfunktionen dazu brauchst.

Für die Fourier-_Analyse_ mußt Du das zu untersuchende Signal der Reihe
nach mit Sinus- und Cosinusfunktionen aller Frequenzen zuerst
multiplizieren ("gewichten") und dann aufintegrieren (sog. "Faltung),
ggfs. nach weiterer Multiplikation mit einer sog. "Fensterfunktion"
("Kurzzeitfourierspektrum").

Kann mir jemand das mal ganz praktisch erklàren wie das mit der
Wavelet-Transformation geht? Was ich bisher fand war doch sehr
mathematisch beschrieben und praktisch unverstàndlich.



Bei der Wavelet-Analyse funktioniert das im Prinzip ganz genauso, und
demtsprechend auch bei einer allfàlligen solcherartigen Synthese. Der
Hauptunterschied liegt in der Art der Gewichtungsfunktionen, die bei der
Fourier-Zerlegung eben die trigonometrischen Funktionen sind (und damit
eigentlich prinzipiell einen unendlichen Zeitraum überdecken), bei der
Wavelet-Analyse aber zeitlich begrenzte "Wellenpaket"-Funktionen.
Genaugenommen geht die "Kurzzeitfourieranalyse" bereits einen großen
Schritt in Richtung "Wavelet", indem sie die (eben prinzipiell unendlich
ausgedehnten) trigonometrieschen Funktionen mittels der Fensterfunktion
auf einen zeitlichen Signalausschnitt begrenzt. Allerdings beeinflussen
diese "Fensterungen" das Ergebnis der Analyse, da die durch die
Fensterfunktion begrenzten trigonometrischen Funktionen nicht mehr "linear
unabhàngig" sind, d.h. die Ergebnisse der Faltung mit der Signalfunktion,
die Spektralkomponenten, nicht das tatsàchliche Frequenzspektrum liefern.
Im Gegensatz dazu sind die Wavelet-Funktionen so definiert, daß sie linear
unabhàngig sind und damit eine ein-eindeutige (umkehrbare) Zerlegung des
Signals in - damit aber nicht mehr reine Frequenz- - Komponenten zulassen.
Aus dem Wavelet-"Spektrum" làßt sich ein Signal vollstàndig rekonstruieren,
wie das auch aus dem _ungefensterten_ Fourierspektrum möglich ist.
Der Hauptunterschied dabei ist, daß das Fourierspektrum keinerlei
Zeitinformation mehr enthàlt, wàhrend das Wavelet-"Spektrum" diese direkt
enthàlt - dafür liefert es keinen sauberen Frequenzgang und ist weniger
anschaulich.
BTW, es gibt zudem nicht nur _ein_, sondern viele Systeme von Wavelet-
Funktionen, im Gegensatz zu dem doch recht eindeutig definierten System der
Sinus- und Cosinus-Funktionen.
(Weitere Details bitte einschlàgiger Fachliteratur entnehmen - konkrete
Wavelet-Funktionen kann ich nicht auswendig liefern, aber die sind dort
eingehend beschrieben und ggfs. sogar tabelliert.)

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Mit freundlichen Grüßen, S. Schicktanz

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