Weg-Zeit-Gesetz aus mittlere Geschw. und Beschleunigung abgeleitet

05/10/2008 - 01:04 von chris | Report spam
Hi,

Das Weg-Zeit-Gesetz ist ja defniniert als s = 0,5*a*t^2

Wenn ich aber v=s/t nach s=v*t umstelle und für v : v=a*t einsetze,
erhalte ich: s = a*t^2. Hier fehlt offensichtlich der Faktor 0,5.
Wo liegt der Logikfehler meinerseits?
 

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#1 Kai-Martin Knaak
05/10/2008 - 02:10 | Warnen spam
On Sun, 05 Oct 2008 01:04:30 +0200, chris wrote:

Das Weg-Zeit-Gesetz ist ja defniniert als s = 0,5*a*t^2

Wenn ich aber v=s/t nach s=v*t umstelle und für v : v=a*t einsetze,
erhalte ich: s = a*t^2. Hier fehlt offensichtlich der Faktor 0,5. Wo
liegt der Logikfehler meinerseits?



Darin, dass die Geschwindigkeit zeitabhàngig ist. Die Geschwindigkeit ist
die Ortsànderung pro Zeiteinheit. Das ist nur im Spezialfàllen konstanter
Geschwindigkeit dasselbe wie "Strecke geteilt durch Zeit". Bei
zeitabhàngiger Geschwindigkeit muss man mit der Ableitung rechnen.

Im allgemeinen Fall gilt:
v = [ s(t1) - s(t2) ] / [ t1 -t2 ]
Dabei sind t1 und t2 zwei aufeinander folgende Zeitpunkte. Wenn man die
Zeitdifferenz zwischen den beiden Zeitpunkten immer kleiner wàhlt, erhàlt
man für die Geschwindigkeit ein Ergebnis, das sich immer mehr einem
Grenzwert annàhert. Dieser Grenzwert ist die Ableitung des Orts nach der
Zeit. Man schreibt dann:
v = ds(t)/dt

Wenn man nun s(t) = 1/2 * a * t^2 mit nicht zeitabhàngiger Beschleunigung
a einsetzt, kürzt sich das 1/2 mit dem Faktor 2, den man aus der
Ableitung von t^2 erhàlt. Schritt für Schritt:
v = ds(t)/dt # Die Formel von oben
= d( 1/2 * a * t^2 ) / dt # s(t) eingesetz
= 1/2 * a * d(t^2) /dt # konstante Faktoren nach vorne gezogen
= 1/2 * a * 2 * t # Ableitung von t^2 gebildet
= a * t

Die Formeln für v und für s bei konstanter Beschleunigung sind also
kompatibel.

<(kaimartin)>
Kai-Martin Knaak
http://lilalaser.de/blog

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