Weil der Gerichtsvollzieher oft bei mir klingelt bin ich immer so angespannt

24/12/2012 - 17:47 von Mr Kyanit | Report spam
Die Hamburger " Spiegel " - Journalisten ( die immer mehr Weltpolitik machen als Putin und Obama zusammen ) könnten mir helfen, mich zu entspannen und zur Ruhe zu kommen :


Mathematik zur Entspannung

Doch die Primzahlen, die scheinbar willkürlich mal nahe beieinander, dann wieder mit großen Lücken in den natürlichen Zahlen verstreut sind, schlugen den Forschern immer wieder ein Schnippchen. Trotz Fortschritten knabbert die Zunft bis heute vergebens an einem Beweis für Polignacs Vermutung.

Zurück zu Goldbach: Der Deutsche aus Königsberg hatte hauptsàchlich Jura und Medizin studiert, mit Mathematik beschàftigte er sich nur zur Entspannung. Dabei liebte er es, mathematische Vermutungen aufzustellen, eine Leidenschaft, die er mit Euler teilte. Nicht immer lagen die Freunde dabei richtig. So behauptete Goldbach in einem spàteren Brief an Euler, jede ungerade Zahl lasse sich als die Summe aus einer Primzahl und dem Doppelten einer Quadratzahl schreiben. So ist etwa 11 = 3 + 2 · 22 oder 23 = 5 + 2 · 32. Euler antwortete ihm, er habe die Behauptung für alle Zahlen bis 1000 geprüft. Spàter bestàtigte er sie sogar bis 2500. Dennoch ist sie falsch, wie der Göttinger Mathematiker Moritz Stern (1807-1894) ein Jahrhundert spàter herausfand. Die Zahlen 5777 und 5993 lassen sich nicht als eine derartige Summe schreiben. Bis heute sind jedoch keine weiteren Gegenbeispiele bekannt.

Seine berühmteste Vermutung stellt indes niemand in Frage. Bis zum Ende des 19. Jahrhundert hatten fleißige Rechner sie für alle Zahlen bis 10.000 geprüft. In den vergangenen Jahrzehnten verifizierten sie Wissenschaftler mit Computerhilfe für mehr als die erste Trillion Zahlen, genauer für alle Zahlen unter 1,2 · 1018.

Ordnen wir jeder natürlichen Zahl n die Anzahl der Möglichkeiten zu, sie als Summe zweier Primzahlen zu schreiben, ist damit die Goldbach-Funktion G(n) definiert. Für kleine Zahlen làsst sich der Wert von G mühelos bestimmen. So ist etwa G(4)=1, denn außer 4=2+2 gibt es keine weitere Möglichkeit, die 4 als Summe zweier Primzahlen zu schreiben. G(6) und G(8) sind ebenfalls gleich 1 (6=3+3, 8=3+5). G(10) hingegen ist 2, denn 10=3+7=5+5. Die goldbachsche Vermutung lautet nun: G(n) > 0 für alle geraden Zahlen n, die größer als 2 sind.

G(n) ist außer für ganz kleine n meist angenehm groß. G(1000) etwa ist bereits 28, G(10.000) gar 127. Dass es da ausgerechnet eine Zahl geben soll, für die G null wird, ist kaum denkbar. Den Computerrechnungen zufolge müsste sie größer als eine Trillion sein. Und unter den berechneten Zahlen gibt es keine einzige, für die G(n) der Null auch nur nahekàme, im Gegenteil.

Ein stochastisches Argument spricht ebenfalls für Goldbach. Man tut dabei so, als seien die Primzahlen zufàllig verteilt. Das stimmt zwar nicht; aber die Primzahlen erscheinen so regellos auf der Zahlengeraden verstreut, dass ihre Anordnung von einer zufàlligen praktisch nicht zu unterscheiden ist. Mit der Fiktion einer Zufallsverteilung kann man zwar nichts beweisen, aber erstaunlich gute Schàtzungen gewinnen.

Nach dem Primzahlsatz von Carl Friedrich Gauß (1777-1855) gilt, dass die Anzahl der Primzahlen, die kleiner sind als eine Zahl n, ungefàhr gleich n geteilt durch den Logarithmus von n ist. In Formeln: µ(n) ungefàhr gleich n/log n. Dabei bezeichnet log n den natürlichen Logarithmus, das heißt den Logarithmus zur Basis e. Zum Beispiel betràgt der Schàtzwert für die Anzahl der Primzahlen unter einer Million 1.000.000 / log 1.000.000 ungefàhr gleich 72.382; der korrekte Wert ist 78.498.

G(2.000.000) ist nur dann null, wenn für jede dieser über 70.000 Primzahlen p die Zahl 2.000.000 - p nicht prim ist. Da p als Primzahl auf alle Fàlle ungerade ist, muss auch 2.000.000 - p ungerade sein. Aus dem gaußschen Primzahlsatz làsst sich folgern, dass die Wahrscheinlichkeit für eine große ungerade Zahl n, Primzahl zu sein, ungefàhr 2/log n betràgt. Zum Beispiel liegt die Wahrscheinlichkeit, dass 1.000.001 eine Primzahl ist, bei rund 2 / log 1.000.001 = 0,1447...
 

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#1 Leo Baumann
24/12/2012 - 19:02 | Warnen spam
Ich schenke Dir eine große Primzahl zum Fest!

178569871236547852396541223654785412358895241545212445554415547895412591

Leo

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