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Welchen Mittelwert nimmt man?

31/05/2009 - 20:55 von Valerian | Report spam
Hallo allerseits,

ich bastele gerade an einem Programm, mit welchem ich (vereinfacht
gesagt) günstigere Fàlle erkennen möchte.

Die Kurzfassung sieht so aus: Man erhàlt der Reihe nach (jeweils in
làngeren Zeitabstànden) eine gewisse Anzahl Messwerte (die man nicht
pràzise vorhersagen kann, die auch nicht voneinander abhàngen, für die
man aber bestimmte Wahrscheinlichkeiten annehmen kann). Nun möchte ich
vorhersagen (bzw. eine möglichst wahrscheinliche Aussage ermitteln),
ob nach einer bestimmten Anzahl Werte ein vorherbestimmtes
Gesamtergebnis überschritten wird oder nicht.

Dazu gehe ich folgendermaßen vor: Die bisher ermittelten Meßwerte
kenne ich natürlich. Nun rufe ich eine rekursive Prozedur auf, die der
Reihe nach für den nàchsten Meßwert alle Möglichkeiten einsetzt, sich
danach selbst rekursiv aufruft und auf diese Weise eine Liste aller
möglichen Bewertungen erstellt.

Das Rekursionsende ist erreicht, wenn die vorgegebene Anzahl Meßwerte
erreicht wurde. In dem Fall wird einfach das exakte Ergebnis für
diesen Fall zurückgegeben.

In allen anderen Fàllen soll die rekursive Funktion jeweils den
Mittelwert aller ermittelten Fàlle ab dieser Stelle der Meßwertreihe
zurückgeben, um der aufrufenden Prozedur quasi den Durchschnitt des zu
erwartenden Ergebnisses mitzuteilen. Bei der Rückkehr zum
Rekursionsbeginn erhalte ich dann eine ungefàhre Vorhersage des
Endergebnisses (falls ich nicht irgendwo einen Denkfehler gemacht
habe). Hierbei ist natürlich jeweils noch die Wahrscheinlichkeit des
tatsàchlichen Auftretens der einzelnen Meßwerte zu beachten.

Mein Problem an der Geschichte ist jetzt, dass ich zunàchst (ohne
weiter darüber nachzudenken) ganz automatisch den Mittelwert auf eine
Art und Weise errechnet habe, die das "arithmetische Mittel" genannt
wird - also 1/n der Summe von n Zahlen. Einer meiner Bekannten sagte
mir im Vorübergehen, dass ich bessere Ergebnisse erhalten würde, wenn
ich das "geometrische Mittel" verwenden würde, also die n-te Wurzel
des Produkts von n Zahlen.

Die Berechnungsweise ist mir klar, und ich sehe auch, dass andere
Zahlen dabei herauskommen. Allerdings sehe ich keinen Grund, warum in
diesem Fall der eine Wert besser sein sollte als der andere, daher
weiß ich leider auch nicht, ob das geometrische Mittel in meinem Fall
tatsàchlich sinnvoller ist als das arithmetische.

Als interessierter Laie habe ich mal versucht, mit Tante Google
Anwendungsbeispiele für die verschiedenen Mittelwerte zu finden, um zu
verstehen, wann welcher Mittelwert besser funktioniert. Ich habe auch
ein paar Texte dazu gefunden, die Beispiele nennen, wann das
geometrische Mittel verwendet wird. Auf die Frage *warum* das richtig
(er) ist wurde allerdings leider nicht eingegangen. Außerdem gibt es
offenbar auch noch ein "harmonisches Mittel".

Daher meine Frage: Wàre jemand so freundlich und kann mir einen Tipp
geben, woran man erkennen kann, welchen der verschiedenen Mittelwerte
man für eine bestimmte Aufgabenstellung sinnvollerweise verwenden
sollte? Bzw. wie *interpretiert* man den Unterschied?

Vielen Dank und schöne Grüße,

Valerian K.
 

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#1 ram
31/05/2009 - 22:26 | Warnen spam
Valerian writes:
Die Kurzfassung sieht so aus: Man erhàlt der Reihe nach (jeweils in
làngeren Zeitabstànden) eine gewisse Anzahl Messwerte (die man nicht
pràzise vorhersagen kann, die auch nicht voneinander abhàngen, für die
man aber bestimmte Wahrscheinlichkeiten annehmen kann). (...)
Auf die Frage *warum* das richtig (er) ist wurde allerdings
leider nicht eingegangen.



Das für eine Anwendung »richtige« Mittel »m« ist derjenige
Wert »m«, den man an der Stelle aller Meßwerte »w_i« in eine
gegebene Ergebnisfunktion »E« jeweils einsetzen kann, um am
Ende das gleiche Ergebnis »e« zu erhalten.

Bei den Werten »w_0«, »w_1«, bis »w_(i-1)«, soll also gelten:

e = E( w_0, w_1, ..., w_(i-1) )= E( m, m, ..., m ) (0)
'--.-'
i-mal
mit

m = M( w_0, w_1, ..., w_(i-1) ) (1)

für alle möglichen »w_0«, »w_1«, bis »w_(i-1)«.

Beispiel: Wenn die Ergebnisfunktion »E« den Verzinsungen »w_i«
eines Jahres »i« den Endbetrag einer Geldanlage zuordnet, dann
ist »M« das geometrische Mittel. Wenn die Ergebnisfunktion »E«
den Einzahlungen »w_i« eines Jahres »i« auf ein nichtverzinstes
Konto den Endbetrag nach Ablauf der betrachteten Jahre zuordnet,
dann ist »M« das arithmetische Mittel.

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