In welcher Potenz ist 2 als Primfaktor in einer Fakultaet enthalten?

11/01/2012 - 05:31 von Ulrich D i e z | Report spam
Hallo,

ich sehe grade mal wieder den Wald vor lauter Bàumen nicht.

Bei Fakultàten kann man die Faktoren auch gruppiert nach
geraden und ungeraden Zahlen hinschreiben und das dabei
entstehende "Hàuflein" gerader Zahlen auffassen als
Produkt einer Zweierpotenz und wieder einer Fakuktàt.
Bei dieser Fakultàt kann man das Spielchen dann wiederholen.

Damit làsst sich rekursiv ermitteln in welcher Potenz 2 als
Primfaktor in derjenigen Fakultàt enthalten ist, von der man
bei dem Spielchen ausgegangen ist.


Ein Beispiel:

9! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9
= 1*3*5*7*9 * 2*4*6*8 (Gruppierung nach der Paritàt)
= 1*3*5*7*9 * (2*1)*(2*2)*(2*3)*(2*4)
= 1*3*5*7*9 * (2^4) * 4! (Auffassen als Produkt aus Zweierpotenz und Fakultàt)
= 1*3*5*7*9 * (2^4) *1*2*3*4
= 1*3*5*7*9 * (2^4) * 1*3 * 2*4 (Gruppierung nach der Paritàt)
= 1*3*5*7*9 * (2^4) * 1*3 * (2*1)*(2*2)
= 1*3*5*7*9 * (2^4) * 1*3 * (2^2) * 2! (Auffassen als Produkt aus Zweierpotenz und Fakultàt)
(Bei 2! ist man fertig -> Zweierpotenzen zusammenfassen)
= 1*3*5*7*9 * 1*3 * (2^4) * (2^2) * 2!
= 1*3*5*7*9 * 1*3 * (2^(4+2+1))!
= 1*3*5*7*9 * 1*3 * (2^(7))
->
Der Primfaktor 2 ist in siebenter Potenz in 9! enthalten.

Meine Fragen sind nun:

1. Stimmt es, dass keine natürliche Zahl n existiert, bei der
2^n ein Faktor von n! ist?

2. Gibt es eine nicht-rekursive / direkte Formel, welche angibt
in welcher Potenz die Primzahl 2 als Primfaktor in n! enthalten ist?

3. Gibt es eine nicht-rekursive / direkte Formel, welche angibt
in welcher Potenz die Primzahl p als Primfaktor in n! enthalten ist?

4. Gibt es eine nicht-rekursive / direkte Formel, welche angibt
in welcher Potenz die natürliche Zahl m als Faktor in n! enthalten ist?

Ulrich
 

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#1 Jens Voß
11/01/2012 - 08:25 | Warnen spam
On 11 Jan., 05:31, Ulrich D i e z wrote:
Hallo,

ich sehe grade mal wieder den Wald vor lauter B umen nicht.

Bei Fakult ten kann man die Faktoren auch gruppiert nach
geraden und ungeraden Zahlen hinschreiben und das dabei
entstehende "H uflein" gerader Zahlen auffassen als
Produkt einer Zweierpotenz und wieder einer Fakukt t.
Bei dieser Fakult t kann man das Spielchen dann wiederholen.

Damit l sst sich rekursiv ermitteln in welcher Potenz 2 als
Primfaktor in derjenigen Fakult t enthalten ist, von der man
bei dem Spielchen ausgegangen ist.

Ein Beispiel:

9! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9
     = 1*3*5*7*9  *  2*4*6*8  (Gruppierung nach der Parit t)
     = 1*3*5*7*9  *   (2*1)*(2*2)*(2*3)*(2*4)
     = 1*3*5*7*9  *   (2^4) * 4!  (Auffassen als Produkt aus Zweierpotenz und Fakult t)
     = 1*3*5*7*9  *   (2^4) *1*2*3*4
     = 1*3*5*7*9  *   (2^4) * 1*3  *  2*4 (Gruppierung nach der Parit t)
     = 1*3*5*7*9  *   (2^4) * 1*3  *  (2*1)*(2*2)
     = 1*3*5*7*9  *   (2^4) * 1*3  *  (2^2) * 2! (Auffassen als Produkt aus Zweierpotenz und Fakult t)
     (Bei 2! ist man fertig -> Zweierpotenzen zusammenfassen)
     = 1*3*5*7*9  *   1*3 * (2^4) * (2^2) * 2!
     = 1*3*5*7*9  *   1*3 * (2^(4+2+1))!
     = 1*3*5*7*9  *   1*3 * (2^(7))
->
Der Primfaktor 2 ist in siebenter Potenz in 9! enthalten.

Meine Fragen sind nun:

1. Stimmt es, dass keine nat rliche Zahl n existiert, bei der
     2^n ein Faktor von n! ist?

2. Gibt es eine nicht-rekursive / direkte Formel, welche angibt
    in welcher Potenz die Primzahl 2 als Primfaktor in n! enthalten ist?

3.  Gibt es eine nicht-rekursive / direkte Formel, welche angibt
    in welcher Potenz die Primzahl p als Primfaktor in n! enthalten ist?

4.  Gibt es eine nicht-rekursive / direkte Formel, welche angibt
    in welcher Potenz die nat rliche Zahl m als Faktor in n! enthalten ist?

Ulrich



Hallo Ulrich,

kleiner Tip: Gib bei http://oeis.org die ersten Werte der Folge
der Zweierpotenzteiler ein (0, 1, 1, 3, 3, 4, 4, 7, 7, 8), und
Du findest reichlich Informationen zur Folge A011371.

Insbesondere werden dort Deine Fragen 1 und 2 beantwortet.

Für die übrigen Fragen kannst Du entsprechend verfahren.

Gruß,
Jens

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