Wellen in der Differentialgeometrie

26/07/2008 - 10:19 von Philipp Wehrli | Report spam
Kennt jemand Arbeiten, in denen die Ausbreitung von Wellen mit
Methoden der Differentialgeometrie beschrieben wird? Man könnte sich
ja wohl z. B. eine Erdbebenwelle, die sich nicht in allen Bereichen
gleich schnell ausbreitet, als eine Welle in einem gekrümmten Raum
vorstellen.

Oder wie sonst werden Erdbebenwelllen beschrieben?

Gruss
Philipp
 

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#1 Roland Franzius
26/07/2008 - 11:03 | Warnen spam
Philipp Wehrli schrieb:
Kennt jemand Arbeiten, in denen die Ausbreitung von Wellen mit
Methoden der Differentialgeometrie beschrieben wird? Man könnte sich
ja wohl z. B. eine Erdbebenwelle, die sich nicht in allen Bereichen
gleich schnell ausbreitet, als eine Welle in einem gekrümmten Raum
vorstellen.

Oder wie sonst werden Erdbebenwelllen beschrieben?



Wellengleichungen in inhomogenen Medien werden mit ortsabhàngiger Dichte
rho(x) und ortsabhàngigem, evtl anisotropem Elastizititàtsmodul k_ab(x)
aus der Langrangedichte

L= 1/2 rho(x) (d \vec xi(t,x)/dt)^2 - 1/2 xi^a k_ab(x) x^b


mit dem üblichen Variationsprinzip gewonnen. Das führt allgemeine
hyperbolische Probleme des Typs

div p(x) grad phi - g(x) d^2/dt^2 phi = 0

für Skalarfelder und


rot p(x) rot xi + g(x) d^2 xi/dt^2 = 0

für Vektorfelder.

Es ist im allgemeinen unmöglich oder zumindest unpraktisch, Karten für
eine globale Riemannsche Geometrie mit diesen Skalenfaktoren zu finden.

Partielle Differentialgleichungen besitzen nur in Übungsaufgaben
analytische Lösungen. Für die Numerik ist die Frage nach einer
Hintergrundgeometrie ohne Bedeutung.


Roland Franzius

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