Wellengleichung auf bewegten Beobachter umrechnen

13/02/2009 - 19:24 von Reiner Reiff | Report spam
Hallo,

ich überleg mir, wie die Wellengleichung für einen gegenüber dem Medium
bewegten Beobachter aussieht.

Nehmen wir einfachheitshalber nur eine 1 Dimension, dann sieht die
Wellengleichung in einem Gas so aus:

n_tt - (c_s)^2 n_xx = 0

n(x,t) ist die Teilchendichte,
n_tt die zweite Zeitableitung,
n_xx die zweite Ortsableitung in x-Richtung
c_s ist die Schallgeschwindigkeit

Geht man von v/c << 1 aus, hat ein mit v bewegter Beobachter die Koordinaten
(Galilei-Transformation):

x' = x - v t
t' = t

Definiert man m(x',t) := n(x' + v t,t), müßte man doch eine
Differentialgleichung für die Dichteverteilung m(x',t) ausrechnen können,
wie sie der bewegte Beobachter sieht.

Sind die folgenden Beziehungen so richtig?

m_x' = n_x
m_t = v n_x + n_t

Grüße
Reiner
 

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#1 Vogel
14/02/2009 - 12:22 | Warnen spam
Reiner Reiff wrote in
news:4995bae9$0$16680$:

Hallo,

ich à¼berleg mir, wie die Wellengleichung fà¼r einen gegenà¼ber dem
Medium bewegten Beobachter aussieht.



Du meinst wohl, wie die Wellengleichung im Bezugsystem eines, gegenüber dem
Medium, bewegten Beobachters aussieht?



Nun die Lösung der Wellengleichung ist von der Form
A(x,t) = f(x+c_s*t) + g(x-c_s*t)
wobei c_s die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist.



mit dem Ansatz:
A(x,t) = A0*e^i*(kx+wt)



erhàlt man:
w^2 = k^2*c_s^2
w = k*c_s
(das +/- habe ich vernachlàssigt das es lediglich die Richtung angibt)



Wie man sieht ist die Wellengleichung, genauso wie im Bezugsystem eines,
gegenüber dem Medium, ruhenden Beobachter, insofern der bewegte Beobachter
sich linear gleichförmig bewegt.
Lediglich bei der Lösung ergibt das einen Unterschied.
w = k*(c_s-v)

Nehmen wir einfachheitshalber nur eine 1 Dimension, dann sieht die
Wellengleichung in einem Gas so aus:

n_tt - (c_s)^2 n_xx = 0

n(x,t) ist die Teilchendichte,
n_tt die zweite Zeitableitung,
n_xx die zweite Ortsableitung in x-Richtung
c_s ist die Schallgeschwindigkeit



Bist du sicher?
Da wir von einer Wellengleichung reden, ist es die Amplitude die da
schwingt. Was diese darstellt ist erst einmal egal aus mathematischer
Sicht.

Geht man von v/c << 1 aus, hat ein mit v bewegter Beobachter die
Koordinaten (Galilei-Transformation):

x' = x - v t
t' = t



Und, was schlussfolgerst du daraus?
Deine Transformationsgleichungen sind nicht komplett.
Wie man sieht nimmst du eine lineare uniforme Relativbewegung an.



Also versuch mer's mal.



In einem euklidischen Raum und bei linearer gleichförmiger Relativbewegung
haben wir im Medium die Ausbreitungskoordinate:
x1 = c_s*t1



Im bewegten Koordinatensystem des Beobachters haben wir:
x2 = x1 -v*t2
also
x2 = (c_s-v)*t2
mit: t=t1=t2



Daraus sieht man schon, dass die Wellengleichung als mathematische Form
sich nicht àndern wird.



Aber man kann es ja auch nachrechnen.



Wir haben die Tensorkomponente:
dx2/dx1 = (c_s-v)/c_s
die anderen Komponenten interesieren erst mal nicht,
da wir keine Kreuzableitungen haben.



Daraus ergibt sich:
d2A/dx1^2 = d/dx2(dA/dx2*dx2/dx1)*dx2/dx1 = d2A/dx2^2 *(dx2/dx1)^2
d2A/dx1^2 = d2A/dx2^2 * ((c_s-v)/c_s)^2



Bei der Zeitkomponente ist ja klar:
d2A/dt1^2 = d2A/dt2^2



Also bleibt die mathematische Form unveràndert.



Bei dir:
n_tt - (c_s-v)^2 n_xx = 0

Definiert man m(x',t) := n(x' + v t,t), muesste man doch eine
Differentialgleichung fuer die Dichteverteilung m(x',t) ausrechnen
können, wie sie der bewegte Beobachter sieht.



Wieso sollte sich die Dichte_verteilung_ àndern, solange sich der
Beobachter linear uniform bewegt?
Siehe ÄP der SRT, oder das Gallileische ÄP.



Bei einer relativen beschleunigten Bewegung wird es ein bischen
komplizierter.

Sind die folgenden Beziehungen so richtig?

m_x' = n_x
m_t = v n_x + n_t



Ist mir nicht klar was du da meinst.
Deine Indexverwendung ist inkonsistent.
Ich sehe nirgends ein m_x bei dir.




Selber denken macht klug.

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